Olimpíadas ⇒ Equação Tópico resolvido

[Hanon]

Sejam [tex3]a,\ b, \ c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a,\ b, \ c[/tex3]

lados, com medidas inteiras, de um triângulo.
Prove que se a equação:

[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0[/tex3]

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[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0[/tex3]

Possui raízes inteiras, então o triângulo é isósceles.

[AndreBRasera]

Ae, tudo certo?

Se o triângulo é isósceles, temos que [tex3]b=c[/tex3]

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[tex3]b=c[/tex3]

; logo:

[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0\rightarrow x^2+(a+1)x+c-c=0\rightarrow x^2+(a+1)x=0[/tex3]

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[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0\rightarrow x^2+(a+1)x+c-c=0\rightarrow x^2+(a+1)x=0[/tex3]

[tex3]x(x+(a+1))=0[/tex3]

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[tex3]x(x+(a+1))=0[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x_1=0 \\
x_2=-a-1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x_1=0 \\
x_2=-a-1
\end{cases}[/tex3]

Se [tex3]a\in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]a\in \mathbb{Z}[/tex3]

, [tex3](-a-1)\in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3](-a-1)\in \mathbb{Z}[/tex3]

e assim [tex3]x\in \mathbb{Z}[/tex3]

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[tex3]x\in \mathbb{Z}[/tex3]

, caso o triângulo seja isósceles [tex3](b=c)[/tex3]

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[tex3](b=c)[/tex3]

.

Observe que, para facilitar a prova, inverti as condições. Em vez de "se a equação possui raízes inteiras, então o triângulo é isósceles", temos "O triângulo é isósceles, portanto, a equação possui raízes inteiras".

Espero ter ajudado.
Abraço!

[Andre13000]

Olá AndreBRasera, infelizmente ele quer que você prove a ida. A volta realmente é verdadeira, e inclusive acho que você esqueceu alguns casos (a=c e b=a).

[AndreBRasera]

Aaaah, agora que li "Olimpíadas" hahahaha

Vish

[Ittalo25]

Se [tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0[/tex3]

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[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0[/tex3]

tem raízes inteiras, então seu determinante é um quadrado perfeito: [tex3]\Delta = (a+1)^2-4\cdot(b-c) [/tex3]

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[tex3]\Delta = (a+1)^2-4\cdot(b-c) [/tex3]

Mas pela desigualdade triangular: [tex3]a+c >b \rightarrow a>b-c [/tex3]

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[tex3]a+c >b \rightarrow a>b-c [/tex3]

Ou seja:

[tex3](a+1)^2 \geq (a+1)^2-4\cdot(b-c) > (a+1)^2 -4a [/tex3]

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[tex3](a+1)^2 \geq (a+1)^2-4\cdot(b-c) > (a+1)^2 -4a [/tex3]

[tex3](a+1)^2 \geq (a+1)^2-4\cdot(b-c) > (a-1)^2 [/tex3]

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[tex3](a+1)^2 \geq (a+1)^2-4\cdot(b-c) > (a-1)^2 [/tex3]

Sendo assim teremos que ter um dos dois casos:

[tex3]\begin{cases}
-4\cdot (b-c)=0 \\
(a+1)^2-4\cdot(b-c) = a^2
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
-4\cdot (b-c)=0 \\
(a+1)^2-4\cdot(b-c) = a^2
\end{cases}[/tex3]

Para o primeiro caso teríamos b=c e o enunciado estaria provado.

Para o segundo caso:

[tex3](a+1)^2-4\cdot(b-c) = a^2[/tex3]

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[tex3](a+1)^2-4\cdot(b-c) = a^2[/tex3]

[tex3]\frac{2a+1}{4} = b-c[/tex3]

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[tex3]\frac{2a+1}{4} = b-c[/tex3]

Substituindo lá:

[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0[/tex3]

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[tex3]x^2+(a+1)x+b-c=0[/tex3]

[tex3]4x^2+(4a+4)x+2a+1=0[/tex3]

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[tex3]4x^2+(4a+4)x+2a+1=0[/tex3]

[tex3]x = \frac{-4a-4 + \sqrt{(4a+4)^2 - 4\cdot 4 \cdot (2a+1)}}{8} = -\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]x = \frac{-4a-4 + \sqrt{(4a+4)^2 - 4\cdot 4 \cdot (2a+1)}}{8} = -\frac{1}{2}[/tex3]

Então ficamos com o primeiro caso.