a) 33
b) 39
c) 27
d) 29
e) 41
Resposta
b
Daí teríamos que os fatores primos são 2, 3, 5 => 2 pq a soma de dois ímpares é par. O problema é achar o 4 número.
Claro que pela resposta dá pra saber que é 29, mas como chegar a esse resultado?
Olimpíadas ⇒ divisibilidade
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quevedo
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Jun 2018
03
23:10
divisibilidade
A soma dos 4 menores fatores primos distintos do número 15^15^15 + 15 é igual a:
a) 33
b) 39
c) 27
d) 29
e) 41
b
Pelo problema fatorando ficaríamos: 15x(15^(15-1) + 1)
Daí teríamos que os fatores primos são 2, 3, 5 => 2 pq a soma de dois ímpares é par. O problema é achar o 4 número.
Claro que pela resposta dá pra saber que é 29, mas como chegar a esse resultado?
a) 33
b) 39
c) 27
d) 29
e) 41
b
Daí teríamos que os fatores primos são 2, 3, 5 => 2 pq a soma de dois ímpares é par. O problema é achar o 4 número.
Claro que pela resposta dá pra saber que é 29, mas como chegar a esse resultado?
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Vinisth
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Jun 2018
03
23:42
Re: divisibilidade
Olá quevedo,
DICA:
Você lista os outros primos: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
EDIT
Realmente, passei digitando sem pensar ...
Abraço !
DICA:
Você lista os outros primos: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ...
EDIT
Realmente, passei digitando sem pensar ...
Abraço !
Editado pela última vez por Vinisth em 04 Jun 2018, 20:29, em um total de 3 vezes.
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quevedo
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Jun 2018
04
17:32
Re: divisibilidade
Desculpe amigo mas não entendi pq 15 = -1 (mod 29) ?
Pois assim 15 + 15 = -2 (mod 29), mas 30 = 1 (mod 29)
Pois assim 15 + 15 = -2 (mod 29), mas 30 = 1 (mod 29)
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Ittalo25
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Abr 2021
10
02:27
Re: divisibilidade
[tex3]15^{15^{15}}+15=15\cdot (15^{15^{15}-1}+1)[/tex3]
Supondo um primo p maior que 5, devemos ter:
[tex3]15^{15^{15}-1}\equiv -1 \mod(p)[/tex3]
[tex3]15^{2\cdot 15^{15}-2}\equiv 1 \mod(p)[/tex3]
Como mdc(15,p) = 1, pelo pequeno teorema de Fermat devemos ter:
[tex3]p-1|2\cdot (15^{15}-1) [/tex3]
[tex3]p-1|2\cdot (15^{5}-1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
[tex3]p-1|2\cdot (15-1)\cdot (15^4+15^3+15^2+15+1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
[tex3]p-1|28\cdot (15^4+15^3+15^2+15+1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
Isso mostra que [tex3]p-1=28\rightarrow \boxed{p=29} [/tex3] funciona.
Isso é bom porque limita por cima, agora só precisamos testar se algum dos primos 7, 11, 13, 17, 19, 23 funciona. Aí deixo com você.
Supondo um primo p maior que 5, devemos ter:
[tex3]15^{15^{15}-1}\equiv -1 \mod(p)[/tex3]
[tex3]15^{2\cdot 15^{15}-2}\equiv 1 \mod(p)[/tex3]
Como mdc(15,p) = 1, pelo pequeno teorema de Fermat devemos ter:
[tex3]p-1|2\cdot (15^{15}-1) [/tex3]
[tex3]p-1|2\cdot (15^{5}-1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
[tex3]p-1|2\cdot (15-1)\cdot (15^4+15^3+15^2+15+1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
[tex3]p-1|28\cdot (15^4+15^3+15^2+15+1)\cdot (15^{10}+15^5+1) [/tex3]
Isso mostra que [tex3]p-1=28\rightarrow \boxed{p=29} [/tex3] funciona.
Isso é bom porque limita por cima, agora só precisamos testar se algum dos primos 7, 11, 13, 17, 19, 23 funciona. Aí deixo com você.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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