Olimpíadas ⇒ Geometria - Círculo inscrito Tópico resolvido
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31
11:00
Geometria - Círculo inscrito
Prove que o incentro de um triângulo é interior ao seu respectivo triângulo medial.
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Mai 2018
31
22:08
Re: Geometria - Círculo inscrito
O incentro de um triângulo é o ponto de Nagel do seu triângulo medial (isso é um fato conhecido)
o ponto de Nagel é sempre interior ao triângulo gerador
A prova de que o incentro é o ponto de nagel do medial está em vários lugares. A minha favorita é essa:
https://artofproblemsolving.com/community/c3103h1052171
aqui tem outra
https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... xplanation
o ponto de Nagel é sempre interior ao triângulo gerador
A prova de que o incentro é o ponto de nagel do medial está em vários lugares. A minha favorita é essa:
https://artofproblemsolving.com/community/c3103h1052171
aqui tem outra
https://www.cut-the-knot.org/Curriculum ... xplanation
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Qui 31 Mai, 2018 22:34). Total de 2 vezes.
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Ago 2018
12
11:04
Re: Geometria - Círculo inscrito
A solução do problema não precisa invocar o ponto de Nagel, e de fato, há uma solução mais elementar baseada em desigualdades. Nesse caso, vamos precisar fazer trabalho algébrico, o que não é tão engenhoso quanto esse ponto, mas é um pouco mais simples.
Então seja o triângulo ABC, seu incentro I, e os pontos de contato da circunferência inscrita P, Q, R, tal que esses residem em BC, AC, AB respectivamente.
[tex3]\rho r=S=\frac{h_a a}{2}=\frac{h_b b}{2}=\frac{h_c c}{2}=\frac{\rho}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\\
\therefore \frac{1}{\rho}=\sum_k \frac{1}{h_k}[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]\frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=\frac{a+b}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}}[/tex3]
Utilizando a desigualdade, se deduz que [tex3]\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}[/tex3]
Portanto, [tex3]\sum_k \frac{1}{h_k}< \frac{2}{h_i};~ i=a, b, c.[/tex3]
[tex3]r<\frac{h_i}{2};~i=a,b,c.[/tex3]
Então seja o triângulo ABC, seu incentro I, e os pontos de contato da circunferência inscrita P, Q, R, tal que esses residem em BC, AC, AB respectivamente.
[tex3]\rho r=S=\frac{h_a a}{2}=\frac{h_b b}{2}=\frac{h_c c}{2}=\frac{\rho}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}}\\
\therefore \frac{1}{\rho}=\sum_k \frac{1}{h_k}[/tex3]
Por outro lado:
[tex3]\frac{a}{\frac{1}{h_a}}=\frac{b}{\frac{1}{h_b}}=\frac{c}{\frac{1}{h_c}}=\frac{a+b}{\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}}[/tex3]
Utilizando a desigualdade, se deduz que [tex3]\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}>\frac{1}{h_c}[/tex3]
Portanto, [tex3]\sum_k \frac{1}{h_k}< \frac{2}{h_i};~ i=a, b, c.[/tex3]
[tex3]r<\frac{h_i}{2};~i=a,b,c.[/tex3]
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Ago 2018
14
20:56
Re: Geometria - Círculo inscrito
Não sei onde eu estava com a cabeça, é óbvio que [tex3]r<\frac{h}{2}\to h>2r[/tex3]
, pois se a altura for menor que o diâmetro, o círculo não residiria no interior do triângulo, tenho essa mania de complicar as coisas.
Última edição: Andre13000 (Ter 14 Ago, 2018 20:57). Total de 1 vez.
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Ago 2018
14
21:17
Re: Geometria - Círculo inscrito
mas então essa desigualdade não prova o exercício. Ela não dá informação sobre a posição do incentro em relação ao medial, correto?
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Ago 2018
14
21:37
Re: Geometria - Círculo inscrito
Eu invoquei a desigualdade e não terminei o raciocínio, foi mal. Dada a altura h em relação a um dos lados do triângulo, o triângulo medial tem altura h/2. Desse modo, se r<h/2, então o centro do círculo fica dentro dos limites do triângulo medial em relação a este lado particular. Analogamente, podemos fazer o mesmo raciocínio para os outros lados e portanto o incentro é interior aos limites do triângulo medial.
Última edição: Andre13000 (Ter 14 Ago, 2018 21:37). Total de 1 vez.
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