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[TME1] Representação decimal
Enviado: Seg 21 Mai, 2018 22:25
por Mirahy
[Tópicos de matemática elementar 1]
Dada uma sequência qualquer [tex3](a_1,a_2,a_3,\cdots)[/tex3]
de algarismos, prove que o número real [tex3]0, a_1, a_2, a_3 \cdots[/tex3]
representa a expansão decimal de um racional se e só se a sequência [tex3](a_1,a_2,a_3,\cdots)[/tex3]
for periódica.
Re: [TME1] Representação decimal
Enviado: Ter 22 Mai, 2018 09:55
por bismuto
Seja o número real [tex3]x=0, a_1, a_2, a_3...[/tex3]
vamos procurar uma representação em forma de fração, dado que a sequência seja periódica.
Seja [tex3]x[/tex3]
um número de período [tex3]n[/tex3]
, tal que [tex3]a_1=a_{n+1}[/tex3]
, [tex3]a_2=a_{n+2}[/tex3]
...
Perceba que [tex3]x\cdot10^n=a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}[/tex3]
, é fácil ver que estamos apenas "deslocando" [tex3]n[/tex3]
casas para a esquerda.
Agora vamos subtrair as casas decimais, restando um número inteiro ([tex3]a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}-0,a_1, a_2,...,a_{n}=a_1, a_2,...,a_{n}[/tex3]
)
[tex3]x\cdot10^n-x=a_1, a_2,...,a_n[/tex3]
Veja que [tex3]x\cdot10^n-x=x(10^n-1)[/tex3]
, ou seja, apenas multiplicamos o número por [tex3]10^n-1[/tex3]
, de modo que tenhamos um número inteiro, agora se dividirmos por [tex3]10^n-1[/tex3]
voltaremos para o número de origem.
Então [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}=\frac{a}{b}=0,a_1,a_2,a_3,...[/tex3]
tal que [tex3]a, b\in\mathbb{Z}\Rightarrow \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}[/tex3]
Chegamos que o número pode ser representado na forma de uma fração de inteiros, dado por [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}[/tex3]
onde [tex3]n[/tex3]
é o período da sequência, note que se o período for [tex3]n=0[/tex3]
, teremos uma indeterminação, pois [tex3]10^0-1=0[/tex3]
.
Então, temos que [tex3]0, a_1, a_2, a_3...[/tex3]
representa um racional se e somente se a sequência for periódica.