[Tópicos de matemática elementar 1]
Dada uma sequência qualquer [tex3](a_1,a_2,a_3,\cdots)[/tex3]
de algarismos, prove que o número real [tex3]0, a_1, a_2, a_3 \cdots[/tex3]
representa a expansão decimal de um racional se e só se a sequência [tex3](a_1,a_2,a_3,\cdots)[/tex3]
for periódica.
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ [TME1] Representação decimal
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bismuto
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Mai 2018
22
09:55
Re: [TME1] Representação decimal
Seja o número real [tex3]x=0, a_1, a_2, a_3...[/tex3]
vamos procurar uma representação em forma de fração, dado que a sequência seja periódica.
Seja [tex3]x[/tex3] um número de período [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]a_1=a_{n+1}[/tex3] , [tex3]a_2=a_{n+2}[/tex3] ...
Perceba que [tex3]x\cdot10^n=a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}[/tex3] , é fácil ver que estamos apenas "deslocando" [tex3]n[/tex3] casas para a esquerda.
Agora vamos subtrair as casas decimais, restando um número inteiro ([tex3]a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}-0,a_1, a_2,...,a_{n}=a_1, a_2,...,a_{n}[/tex3] )
[tex3]x\cdot10^n-x=a_1, a_2,...,a_n[/tex3]
Veja que [tex3]x\cdot10^n-x=x(10^n-1)[/tex3] , ou seja, apenas multiplicamos o número por [tex3]10^n-1[/tex3] , de modo que tenhamos um número inteiro, agora se dividirmos por [tex3]10^n-1[/tex3] voltaremos para o número de origem.
Então [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}=\frac{a}{b}=0,a_1,a_2,a_3,...[/tex3] tal que [tex3]a, b\in\mathbb{Z}\Rightarrow \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}[/tex3]
Chegamos que o número pode ser representado na forma de uma fração de inteiros, dado por [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}[/tex3] onde [tex3]n[/tex3] é o período da sequência, note que se o período for [tex3]n=0[/tex3] , teremos uma indeterminação, pois [tex3]10^0-1=0[/tex3] .
Então, temos que [tex3]0, a_1, a_2, a_3...[/tex3] representa um racional se e somente se a sequência for periódica.
Seja [tex3]x[/tex3] um número de período [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]a_1=a_{n+1}[/tex3] , [tex3]a_2=a_{n+2}[/tex3] ...
Perceba que [tex3]x\cdot10^n=a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}[/tex3] , é fácil ver que estamos apenas "deslocando" [tex3]n[/tex3] casas para a esquerda.
Agora vamos subtrair as casas decimais, restando um número inteiro ([tex3]a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}-0,a_1, a_2,...,a_{n}=a_1, a_2,...,a_{n}[/tex3] )
[tex3]x\cdot10^n-x=a_1, a_2,...,a_n[/tex3]
Veja que [tex3]x\cdot10^n-x=x(10^n-1)[/tex3] , ou seja, apenas multiplicamos o número por [tex3]10^n-1[/tex3] , de modo que tenhamos um número inteiro, agora se dividirmos por [tex3]10^n-1[/tex3] voltaremos para o número de origem.
Então [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}=\frac{a}{b}=0,a_1,a_2,a_3,...[/tex3] tal que [tex3]a, b\in\mathbb{Z}\Rightarrow \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}[/tex3]
Chegamos que o número pode ser representado na forma de uma fração de inteiros, dado por [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}[/tex3] onde [tex3]n[/tex3] é o período da sequência, note que se o período for [tex3]n=0[/tex3] , teremos uma indeterminação, pois [tex3]10^0-1=0[/tex3] .
Então, temos que [tex3]0, a_1, a_2, a_3...[/tex3] representa um racional se e somente se a sequência for periódica.
Editado pela última vez por bismuto em 22 Mai 2018, 10:18, em um total de 3 vezes.
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