Olimpíadas[TME1] Representação decimal

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Mirahy
iniciante
Mensagens: 8
Registrado em: Seg 20 Nov, 2017 15:23
Última visita: 22-05-18
Mai 2018 21 22:25

[TME1] Representação decimal

Mensagem não lida por Mirahy »

[Tópicos de matemática elementar 1]
Dada uma sequência qualquer [tex3](a_1,a_2,a_3,\cdots)[/tex3] de algarismos, prove que o número real [tex3]0, a_1, a_2, a_3 \cdots[/tex3] representa a expansão decimal de um racional se e só se a sequência [tex3](a_1,a_2,a_3,\cdots)[/tex3] for periódica.




Avatar do usuário
bismuto
sênior
Mensagens: 44
Registrado em: Qui 19 Abr, 2018 09:26
Última visita: 09-05-19
Mai 2018 22 09:55

Re: [TME1] Representação decimal

Mensagem não lida por bismuto »

Seja o número real [tex3]x=0, a_1, a_2, a_3...[/tex3] vamos procurar uma representação em forma de fração, dado que a sequência seja periódica.

Seja [tex3]x[/tex3] um número de período [tex3]n[/tex3] , tal que [tex3]a_1=a_{n+1}[/tex3] , [tex3]a_2=a_{n+2}[/tex3] ...
Perceba que [tex3]x\cdot10^n=a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}[/tex3] , é fácil ver que estamos apenas "deslocando" [tex3]n[/tex3] casas para a esquerda.

Agora vamos subtrair as casas decimais, restando um número inteiro ([tex3]a_1, a_2,...,a_{n}(vírgula)\ a_{n+1}, a_{n+2},...,a_{n+n}-0,a_1, a_2,...,a_{n}=a_1, a_2,...,a_{n}[/tex3] )
[tex3]x\cdot10^n-x=a_1, a_2,...,a_n[/tex3]

Veja que [tex3]x\cdot10^n-x=x(10^n-1)[/tex3] , ou seja, apenas multiplicamos o número por [tex3]10^n-1[/tex3] , de modo que tenhamos um número inteiro, agora se dividirmos por [tex3]10^n-1[/tex3] voltaremos para o número de origem.

Então [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}=\frac{a}{b}=0,a_1,a_2,a_3,...[/tex3] tal que [tex3]a, b\in\mathbb{Z}\Rightarrow \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}[/tex3]

Chegamos que o número pode ser representado na forma de uma fração de inteiros, dado por [tex3]\frac{x\cdot10^n-x}{10^n-1}[/tex3] onde [tex3]n[/tex3] é o período da sequência, note que se o período for [tex3]n=0[/tex3] , teremos uma indeterminação, pois [tex3]10^0-1=0[/tex3] .

Então, temos que [tex3]0, a_1, a_2, a_3...[/tex3] representa um racional se e somente se a sequência for periódica.

Última edição: bismuto (Ter 22 Mai, 2018 10:18). Total de 3 vezes.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem Representação decimal de fração
    por poisedom » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    222 Exibições
    Última msg por Tassandro
  • Nova mensagem (Rufino) Representação decimal
    por Zhadnyy » » em Ensino Fundamental
    2 Respostas
    155 Exibições
    Última msg por Zhadnyy
  • Nova mensagem (Rufino) Representação decimal
    por Zhadnyy » » em Ensino Fundamental
    1 Respostas
    113 Exibições
    Última msg por Deleted User 24633
  • Nova mensagem (Argentina) Representação decimal
    por Zhadnyy » » em Olimpíadas
    1 Respostas
    149 Exibições
    Última msg por Deleted User 24633
  • Nova mensagem Representação de Pontos no Espaço
    por Ronny » » em Ensino Superior
    1 Respostas
    634 Exibições
    Última msg por drfritz

Voltar para “Olimpíadas”