(Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Auto Excluído (ID:20808) · 2018-05-21T16:55:02-03:00

Prove que se \frac{a}{b}>1 , então \frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}, \ a>0, \ b>0, \ c>0 .

Olá, Comunidade!

Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).

Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero

)

Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!

Vamos crescer essa comunidade juntos

Grande abraço a todos,
Prof. Caju

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Autor do Tópico

Auto Excluído (ID:20808): Última visita: 31-12-69

Mai 2018 21 16:55

(Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:20808) » 21 Mai 2018, 16:55

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20808) » 21 Mai 2018, 16:55

Prove que se [tex3]\frac{a}{b}>1[/tex3] , então [tex3]\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}, \ a>0, \ b>0, \ c>0[/tex3] .

Auto Excluído (ID:20808)

Ittalo25: Mensagens: 2349; Registrado em: 18 Nov 2013, 22:11; Última visita: 27-03-24; Agradeceu: 299 vezes; Agradeceram: 1401 vezes

Mai 2018 21 17:06

Re: (Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Mensagem não lidapor Ittalo25 » 21 Mai 2018, 17:06

Mensagem não lida por Ittalo25 » 21 Mai 2018, 17:06

[tex3]\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{a+b+c-b}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3]

Obviamente [tex3]b+c\neq 0[/tex3] , então:

[tex3]1+\frac{a-b}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{a-b}{b+c}<\frac{a-b}{b}[/tex3]

Como [tex3]\frac{a}{b} > 1 [/tex3] e [tex3]a,b >0 [/tex3] , então [tex3]a-b>0 [/tex3] , logo:

[tex3]\frac{1}{b+c}<\frac{1}{b}[/tex3]

[tex3]b<b+c [/tex3]

[tex3]0<c [/tex3]

O que é verdade

Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Ittalo25

Autor do Tópico

Auto Excluído (ID:20808): Última visita: 31-12-69

Mai 2018 21 17:16

Re: (Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Mensagem não lidapor Auto Excluído (ID:20808) » 21 Mai 2018, 17:16

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20808) » 21 Mai 2018, 17:16

Muito obrigado Ittalo25, mas para demonstrar não tem que sair da inequação [tex3]\frac{a}{b}>1[/tex3] e chegar em [tex3]\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3] ? Grande abraço.

Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:20808) em 21 Mai 2018, 17:17, em um total de 1 vez.

Auto Excluído (ID:20808)

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Primeira Postagem

Quando a, b e c são os três números racionais \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3} \ e \ \frac{1}{5} , o valor de:

\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}=...

Última mensagem

Seja x = (a-b), y=(b-c),z=(c-a)

\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{x^2z^2 +x^2y^2 + y^2z^2}{x^2y^2z^2} =

\frac{x^2(z^2 + y^2) +...

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Primeira Postagem

Determine todos os valores reais de x,y e z que satisfazem a igualdade 3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz .

Última mensagem

x^2 + (x^2 - 2xy+y^2 ) +(x^2 - 2zx + z^2) = 0 \\ x^2 + (x-y)^2 + (x-z)^2 = 0 \\ x = 0 \\ x-y = 0 \\ x- z = 0
donde a resposta é imediata.

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Re: (Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

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