Olimpíadas(Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Mai 2018 21 16:55

(Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20808) »

Prove que se [tex3]\frac{a}{b}>1[/tex3] , então [tex3]\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}, \ a>0, \ b>0, \ c>0[/tex3] .




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Ittalo25
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Mai 2018 21 17:06

Re: (Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{a+b+c-b}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3]

Obviamente [tex3]b+c\neq 0[/tex3] , então:

[tex3]1+\frac{a-b}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3]

[tex3]\frac{a-b}{b+c}<\frac{a-b}{b}[/tex3]

Como [tex3]\frac{a}{b} > 1 [/tex3] e [tex3]a,b >0 [/tex3] , então [tex3]a-b>0 [/tex3] , logo:

[tex3]\frac{1}{b+c}<\frac{1}{b}[/tex3]

[tex3]b<b+c [/tex3]

[tex3]0<c [/tex3]

O que é verdade



Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:20808)
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Mai 2018 21 17:16

Re: (Olimpíada do Ceará - 90) Demonstração de propriedade da fração

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:20808) »

Muito obrigado Ittalo25, mas para demonstrar não tem que sair da inequação [tex3]\frac{a}{b}>1[/tex3] e chegar em [tex3]\frac{a+c}{b+c}<\frac{a}{b}[/tex3] ? Grande abraço.

Última edição: Auto Excluído (ID:20808) (Seg 21 Mai, 2018 17:17). Total de 1 vez.



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