OlimpíadasConjuntos (Inclusão)

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Mar 2019 24 13:24

Conjuntos (Inclusão)

Mensagem não lida por Hanon »

Provar pela definição que: [tex3]X_1\subset Y_1 \ \ \ e \ \ \ X_2\subset Y_2 \implies (X_1\cup X_2) \subset(Y_1\cup Y_2)[/tex3]




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lincoln1000
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Mar 2019 24 15:35

Re: Conjuntos (Inclusão)

Mensagem não lida por lincoln1000 »

[tex3]X_1 \subset Y_1 \Leftrightarrow (\forall x \in X_1 \Rightarrow x \in Y_1)[/tex3]

Tomemos um conjunto [tex3]A \subset Y_1\ |\ A\neq X_1[/tex3] , onde [tex3]Y_1=X_1\cup A[/tex3] . Então:
[tex3]Y_1=\{y\ |\ y \in X_1 \vee y \in A \}[/tex3]

Analogamente para [tex3]X_2 \subset Y_2[/tex3] , temos:
[tex3]Y_2=\{y\ |\ y \in X_2 \vee y \in B \}[/tex3]

Então:
[tex3]Y_1\cup Y_2 = \{y\ |\ (y \in X_1 \vee y \in A)\vee (y \in X_2 \vee y \in B) \}[/tex3]

Como [tex3]X_1\cup X_2 = \{x\ |\ x \in X_1 \vee x \in X_2 \}[/tex3]

Concluímos que:
[tex3]X_1 \subset Y_1[/tex3] e [tex3]X_2\subset Y_2 \Rightarrow (X_1\cup X_2) \subset (Y_1\cup Y_2)[/tex3]

Última edição: lincoln1000 (Dom 24 Mar, 2019 15:40). Total de 1 vez.


"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."

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