Olimpíadas ⇒ Conjuntos (Inclusão)
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Mar 2019
24
13:24
Conjuntos (Inclusão)
Provar pela definição que: [tex3]X_1\subset Y_1 \ \ \ e \ \ \ X_2\subset Y_2 \implies (X_1\cup X_2) \subset(Y_1\cup Y_2)[/tex3]
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Mar 2019
24
15:35
Re: Conjuntos (Inclusão)
[tex3]X_1 \subset Y_1 \Leftrightarrow (\forall x \in X_1 \Rightarrow x \in Y_1)[/tex3]
Tomemos um conjunto [tex3]A \subset Y_1\ |\ A\neq X_1[/tex3] , onde [tex3]Y_1=X_1\cup A[/tex3] . Então:
[tex3]Y_1=\{y\ |\ y \in X_1 \vee y \in A \}[/tex3]
Analogamente para [tex3]X_2 \subset Y_2[/tex3] , temos:
[tex3]Y_2=\{y\ |\ y \in X_2 \vee y \in B \}[/tex3]
Então:
[tex3]Y_1\cup Y_2 = \{y\ |\ (y \in X_1 \vee y \in A)\vee (y \in X_2 \vee y \in B) \}[/tex3]
Como [tex3]X_1\cup X_2 = \{x\ |\ x \in X_1 \vee x \in X_2 \}[/tex3]
Concluímos que:
[tex3]X_1 \subset Y_1[/tex3] e [tex3]X_2\subset Y_2 \Rightarrow (X_1\cup X_2) \subset (Y_1\cup Y_2)[/tex3]
Tomemos um conjunto [tex3]A \subset Y_1\ |\ A\neq X_1[/tex3] , onde [tex3]Y_1=X_1\cup A[/tex3] . Então:
[tex3]Y_1=\{y\ |\ y \in X_1 \vee y \in A \}[/tex3]
Analogamente para [tex3]X_2 \subset Y_2[/tex3] , temos:
[tex3]Y_2=\{y\ |\ y \in X_2 \vee y \in B \}[/tex3]
Então:
[tex3]Y_1\cup Y_2 = \{y\ |\ (y \in X_1 \vee y \in A)\vee (y \in X_2 \vee y \in B) \}[/tex3]
Como [tex3]X_1\cup X_2 = \{x\ |\ x \in X_1 \vee x \in X_2 \}[/tex3]
Concluímos que:
[tex3]X_1 \subset Y_1[/tex3] e [tex3]X_2\subset Y_2 \Rightarrow (X_1\cup X_2) \subset (Y_1\cup Y_2)[/tex3]
Última edição: lincoln1000 (Dom 24 Mar, 2019 15:40). Total de 1 vez.
"Como é que vão aprender sem incentivo de alguém, sem orgulho e sem respeito, sem saúde e sem paz."
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