Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Hanon** » 24 Mar 2019, 13:24 · Mensagem não lida por **Hanon** » 24 Mar 2019, 13:24

Provar pela definição que: [tex3]X_1\subset Y_1 \ \ \ e \ \ \ X_2\subset Y_2 \implies (X_1\cup X_2) \subset(Y_1\cup Y_2)[/tex3]

Mensagem não lidapor **lincoln1000** » 24 Mar 2019, 15:35 · 24 Mar 2019, 15:35

[tex3]X_1 \subset Y_1 \Leftrightarrow (\forall x \in X_1 \Rightarrow x \in Y_1)[/tex3]

Tomemos um conjunto [tex3]A \subset Y_1\ |\ A\neq X_1[/tex3] , onde [tex3]Y_1=X_1\cup A[/tex3] . Então:
[tex3]Y_1=\{y\ |\ y \in X_1 \vee y \in A \}[/tex3]

Analogamente para [tex3]X_2 \subset Y_2[/tex3] , temos:
[tex3]Y_2=\{y\ |\ y \in X_2 \vee y \in B \}[/tex3]

Então:
[tex3]Y_1\cup Y_2 = \{y\ |\ (y \in X_1 \vee y \in A)\vee (y \in X_2 \vee y \in B) \}[/tex3]

Como [tex3]X_1\cup X_2 = \{x\ |\ x \in X_1 \vee x \in X_2 \}[/tex3]

Concluímos que:
[tex3]X_1 \subset Y_1[/tex3] e [tex3]X_2\subset Y_2 \Rightarrow (X_1\cup X_2) \subset (Y_1\cup Y_2)[/tex3]

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