Olimpíadas ⇒ (O Algebrista) - Somatório Tópico resolvido

[jvmago]

Se [tex3]x^2+x+1=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^2+x+1=0[/tex3]

, calcule:

[tex3](x+\frac{1}{x})+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^{27}+\frac{1}{x^{27}})^2[/tex3]

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[tex3](x+\frac{1}{x})+(x^2+\frac{1}{x^2})^2+(x^3+\frac{1}{x^3})^2+...+(x^{27}+\frac{1}{x^{27}})^2[/tex3]

[Andre13000]

Veja a seguinte solução:

[tex3]x^2+x+1=0\\
x+\frac{1}{x}+1=0\\
x+\frac{1}{x}=-1=S_1[/tex3]

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[tex3]x^2+x+1=0\\
x+\frac{1}{x}+1=0\\
x+\frac{1}{x}=-1=S_1[/tex3]

Agora, eu defino [tex3]S_k[/tex3]

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[tex3]S_k[/tex3]

da seguinte forma:

[tex3]S_k=x^k+\frac{1}{x^k}[/tex3]

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[tex3]S_k=x^k+\frac{1}{x^k}[/tex3]

Veja que:

[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)S_k=S_{k+1}+S_{k-1}\\
S_{k-1}+S_k+S_{k+1}=0\\
S_{k}+S_{k+1}+S_{k+2}=0\\
\therefore S_{k+3}=S_{k}[/tex3]

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[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)S_k=S_{k+1}+S_{k-1}\\
S_{k-1}+S_k+S_{k+1}=0\\
S_{k}+S_{k+1}+S_{k+2}=0\\
\therefore S_{k+3}=S_{k}[/tex3]

Vemos que [tex3]S_0=2[/tex3]

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[tex3]S_0=2[/tex3]

, [tex3]S_1=-1[/tex3]

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[tex3]S_1=-1[/tex3]

e [tex3]S_2=-1[/tex3]

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[tex3]S_2=-1[/tex3]

.

É fácil ver que:

[tex3]S_k=2\cos\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

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[tex3]S_k=2\cos\frac{2k\pi}{3}[/tex3]

Portanto, sabendo deste resultado, você pode computar sua soma com tranquilidade. Mais tarde irei dar justificativas, agora tenho de estudar química kkkkk.

[Andre13000]

É mais fácil de justificar isso que pensei. Veja:

[tex3]x^2+x+1=0\to x=\pm\cis(2\pi/3)\\
x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(2\pi n/3)[/tex3]

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[tex3]x^2+x+1=0\to x=\pm\cis(2\pi/3)\\
x^n+\frac{1}{x^n}=2\cos(2\pi n/3)[/tex3]

Essa ultima relação se deve ao fato que [tex3]\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x[/tex3]

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[tex3]\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x[/tex3]

[jvmago]

só com oa recessão linear ja mata pa fica uma sequencia (1+1+4)9 vezes. Sai pelo termo geral que você deduziu.

[jvmago]

mas muito obrigado Andre13000, me ajudou muito.