Olimpíadas(Olimpíada da Holanda-83) Polinômio Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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(Olimpíada da Holanda-83) Polinômio

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

Sejam a, b, c e p números reais, com a, b e c não todos iguais, tais que [tex3]a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=p[/tex3] . Determine todos os valores possíveis de p e prove que [tex3]abc+p=0[/tex3] .
Resposta

[tex3]\pm 1[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:19677) (Dom 08 Abr, 2018 00:25). Total de 1 vez.



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jedi
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Re: (Olimpíada da Holanda-83) Polinômio

Mensagem não lida por jedi »

[tex3]a+\frac{1}{b}=p[/tex3]

[tex3]b=\frac{1}{p-a}[/tex3]

[tex3]c+\frac{1}{a}=p[/tex3]

[tex3]c=\frac{ap-1}{a}[/tex3]

[tex3]b+\frac{1}{c}=p[/tex3]

[tex3]\frac{1}{p-a}+\frac{1}{\frac{ap-1}{a}}=p[/tex3]

[tex3]\frac{1}{p-a}+\frac{a}{ap-1}=p[/tex3]

[tex3]ap-1+ap-a^2=p(ap-1)(p-a)[/tex3]

[tex3](1-p^2)a^2+(-p^3+p)a+p^2-1=0[/tex3]

[tex3](1-p^2)a^2+p(1-p^2)a-(1-p^2)=0[/tex3]

se fizermos o mesmo processo isolando b e c encontraremos

[tex3](1-p^2)b^2+p(1-p^2)b-(1-p^2)=0[/tex3]

[tex3](1-p^2)c^2+p(1-p^2)c-(1-p^2)=0[/tex3]

ou seja, os três tem como solução as raízes da equação de segundo grau

[tex3](1-p^2)x^2+p(1-p^2)x-(1-p^2)=0[/tex3]

porém essa equação tem apenas duas raízes, como temos três números, a , b, c, pelo menos dois deles são iguais.

mas se a=b

[tex3]a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}[/tex3]

[tex3]a+\frac{1}{a}=a+\frac{1}{c}[/tex3]

[tex3]c=a[/tex3]

então os três são iguais, mas o enunciado diz que eles não são todos iguais logo essa não pode ser a solução

analisando novamente a equação de segundo grau

[tex3](1-p^2)x^2+p(1-p^2)x-(1-p^2)=0[/tex3]

se [tex3]p=\pm1[/tex3]

então essa equação será igual a 0 para qualquer valor de x, portanto para termos os três números não todos iguais temos que p tem que ser igual a 1 ou a -1

logo

[tex3]a+\frac{1}{b}=1[/tex3]

[tex3]b=\frac{1}{1-a}[/tex3]

e

[tex3]c=\frac{1}{a}=1[/tex3]

[tex3]c=\frac{a-1}{a}[/tex3]

portanto

[tex3]abc=a.\frac{1}{1-a}.\frac{a-1}{a}=-1[/tex3]

logo se p=1 então [tex3]abc=-1=-p[/tex3]

se fizermos para [tex3]p=-1[/tex3] chegaremos na mesma conclusão.




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Auto Excluído (ID:19677)
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Abr 2018 18 21:33

Re: (Olimpíada da Holanda-83) Polinômio

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

[tex3]ap-1+ap-a^2=p(ap-1)(p-a)[/tex3]

[tex3](1-p^2)a^2+(-p^3+p)a+p^2-1=0[/tex3]

Muito obrigada pela resposta! Mas essa transformação está mesmo correta?



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jedi
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Re: (Olimpíada da Holanda-83) Polinômio

Mensagem não lida por jedi »

Vamos ver

[tex3]ap-1+ap-a^2=p(ap-1)(p-a)[/tex3]

[tex3]2ap-1-a^2=p(ap^2-a^2p-p+a)[/tex3]

[tex3]2ap-1-a^2=ap^3-a^2p^2-p^2+ap[/tex3]

[tex3]-2ap+1+a^2+ap^3-a^2p^2-p^2+ap=0[/tex3]

[tex3]a^2-a^2p^2+ap^3-ap-p^2+1=0[/tex3]

[tex3](1-p^2)a^2+(p^3-p)a-p^2+1=0[/tex3]

realmente o sinal do termo do meio, o que esta multiplicado por a, esta invertido, mas o resultado vai ser o mesmo.

Última edição: jedi (Qua 18 Abr, 2018 21:48). Total de 1 vez.



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