Olimpíadas ⇒ (OBM-2010) Polinômio Tópico resolvido

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Sejam a,b e c reais tais que [tex3]a\neq b[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\neq b[/tex3]

e [tex3]a^2(b+c)=b^2(c+a)=2010[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2(b+c)=b^2(c+a)=2010[/tex3]

. Calcule [tex3]c^2(a+b)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]c^2(a+b)[/tex3]

.

Resposta

---

2010

[AugustoCRF]

I. a² (b+c) = b²(c+a)

Fazendo a distribuição chegamos em:
a²b - ab² = b²c - a²c ==>
ab(a-b) = c(b-a)(b+a)
ab(a-b) = -c(a-b)(b+a)
-c(b+a) = ab => equação 1.

II. Multiplicando por -c dos dois lados da eq.1 temos que:
c²(a+b) = -abc

III. Sendo a²(b+a) = 2010
a²b + a²c = 2010
ab(a) + a²c = 2010

Utilizando a equação 1:
-ac(a+b) + a²c = 2010
-a²c - abc + a²c = 2010
-abc = 2010
Logo, c²(a+b) = 2010