Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio Tópico resolvido
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Abr 2018
06
22:27
(Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio
Sejam a, b, c, números reais positivos distintos dois a dois tais que [tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
. Prove que o produto [tex3](a−c)(b−c)[/tex3]
é negativo.-
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Abr 2018
07
12:07
Re: (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio
[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
[tex3]a^2-c^2=ab-b^2[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=b(a-b)[/tex3]
da mesma forma
[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
[tex3]b^2-c^2=ab-a^2[/tex3]
[tex3](b+c)(b-c)=a(b-a)[/tex3]
multiplicando as duas expressões
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=-ab(b-a)^2[/tex3]
como a e b são positivos e (b-a)^2 também é positivo, pois esta ao quadrado, o lado direito da equação sempre terá um resultado negativo por causa do sinal de menos, portanto
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)<0[/tex3]
mas como a, b e c são positivos, (a+c) e (b+c) também sempre serão positivos, portanto a consequência é que
[tex3](a-c)(b-c)<0[/tex3]
[tex3]a^2-c^2=ab-b^2[/tex3]
[tex3](a+c)(a-c)=b(a-b)[/tex3]
da mesma forma
[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]
[tex3]b^2-c^2=ab-a^2[/tex3]
[tex3](b+c)(b-c)=a(b-a)[/tex3]
multiplicando as duas expressões
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=-ab(b-a)^2[/tex3]
como a e b são positivos e (b-a)^2 também é positivo, pois esta ao quadrado, o lado direito da equação sempre terá um resultado negativo por causa do sinal de menos, portanto
[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)<0[/tex3]
mas como a, b e c são positivos, (a+c) e (b+c) também sempre serão positivos, portanto a consequência é que
[tex3](a-c)(b-c)<0[/tex3]
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Abr 2018
07
13:45
Re: (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio
Uma solução alternativa seria perceber que a expressão a2 + b2 - ab = c2 satisfaz a lei dos cossenos para c = 60°
Logo a + b + c = 180°=> a + b = 120°
Como a, b e c são distintos, podemos supor que a > b ou b > a
Se a > b
a > 60 e b < 60
a > c > b => (a-c) > 0 (b-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0
Se b > a
b > 60 e a < 60
b > c > a => (b-c) > 0 (a-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0
Logo a + b + c = 180°=> a + b = 120°
Como a, b e c são distintos, podemos supor que a > b ou b > a
Se a > b
a > 60 e b < 60
a > c > b => (a-c) > 0 (b-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0
Se b > a
b > 60 e a < 60
b > c > a => (b-c) > 0 (a-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0
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