Olimpíadas(Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Autor do Tópico
Auto Excluído (ID:19677)
6 - Doutor
Última visita: 31-12-69
Abr 2018 06 22:27

(Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:19677) »

Sejam a, b, c, números reais positivos distintos dois a dois tais que [tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3] . Prove que o produto [tex3](a−c)(b−c)[/tex3] é negativo.




Avatar do usuário
jedi
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 984
Registrado em: Qui 11 Jul, 2013 14:57
Última visita: 12-03-24
Abr 2018 07 12:07

Re: (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio

Mensagem não lida por jedi »

[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]

[tex3]a^2-c^2=ab-b^2[/tex3]

[tex3](a+c)(a-c)=b(a-b)[/tex3]

da mesma forma

[tex3]a^2+b^2-ab=c^2[/tex3]

[tex3]b^2-c^2=ab-a^2[/tex3]

[tex3](b+c)(b-c)=a(b-a)[/tex3]

multiplicando as duas expressões

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=ab(b-a)(a-b)[/tex3]

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)=-ab(b-a)^2[/tex3]

como a e b são positivos e (b-a)^2 também é positivo, pois esta ao quadrado, o lado direito da equação sempre terá um resultado negativo por causa do sinal de menos, portanto

[tex3](a+c)(b+c)(a-c)(b-c)<0[/tex3]

mas como a, b e c são positivos, (a+c) e (b+c) também sempre serão positivos, portanto a consequência é que

[tex3](a-c)(b-c)<0[/tex3]




Avatar do usuário
AugustoCRF
Junior
Mensagens: 10
Registrado em: Sáb 31 Mar, 2018 02:48
Última visita: 24-06-20
Abr 2018 07 13:45

Re: (Olimpíada Cearense de Matemática-97) Polinômio

Mensagem não lida por AugustoCRF »

Uma solução alternativa seria perceber que a expressão a2 + b2 - ab = c2 satisfaz a lei dos cossenos para c = 60°
Logo a + b + c = 180°=> a + b = 120°
Como a, b e c são distintos, podemos supor que a > b ou b > a

Se a > b
a > 60 e b < 60
a > c > b => (a-c) > 0 (b-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0

Se b > a
b > 60 e a < 60
b > c > a => (b-c) > 0 (a-c) < 0 => (a-c)(b-c) < 0




Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Olimpíadas”