Olimpíadas ⇒ (Olimpíada de Minas Gerais 2005) Radiciação Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19677)]

Qual o valor inteiro da expressão [tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]

Resposta

---

1

[Ittalo25]

[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = k[/tex3]

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[tex3]\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} = k[/tex3]

[tex3](\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3+(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3 +3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} )= k^3[/tex3]

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[tex3](\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^3+(\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3 +3\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{2-\sqrt{5}} \cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}} )= k^3[/tex3]

[tex3]2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} +3 \sqrt[3]{2^2-\sqrt{5^2}} \cdot (k )= k^3[/tex3]

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[tex3]2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5} +3 \sqrt[3]{2^2-\sqrt{5^2}} \cdot (k )= k^3[/tex3]

[tex3]4 +3 \sqrt[3]{-1} \cdot (k )= k^3[/tex3]

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[tex3]4 +3 \sqrt[3]{-1} \cdot (k )= k^3[/tex3]

[tex3]4 -3 k = k^3[/tex3]

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[tex3]4 -3 k = k^3[/tex3]

[tex3]\boxed {k=1}[/tex3]

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[tex3]\boxed {k=1}[/tex3]

[PedroCosta]

Semelhante a da EsPCEx do ano retrasado ou passado. Se quiser treinar, só ir atrás dela.
[tex3]x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]

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[tex3]x = \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/tex3]

Elevando ao cubo e desenvolvendo:
[tex3]x^3 = 4 -3 (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\\
x^3 = 4 -3x\\
x^3 + 3x - 4 = 0[/tex3]

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[tex3]x^3 = 4 -3 (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\\
x^3 = 4 -3x\\
x^3 + 3x - 4 = 0[/tex3]

Pela pesquisa das raízes racionais, o 1 é a nossa única solução inteira. Só pra deixar algo diferente da solução do colega acima, você poderia aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini e encontrar [tex3]x^2+x+4[/tex3]

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[tex3]x^2+x+4[/tex3]

que apresenta soluções complexas.

[Auto Excluído (ID:19677)]

[tex3](\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3[/tex3]

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[tex3](\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^3[/tex3]

Por que não aplicou módulo?

[PedroCosta]

Cuidado. Veja que:
[tex3](-2)^3 = -8[/tex3]

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[tex3](-2)^3 = -8[/tex3]

Qual seria a raiz cúbica de -8?