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Mensagem não lidapor **Hanon** » Sex 30 Mar, 2018 13:26 · Mensagem não lida por **Hanon** » Sex 30 Mar, 2018 13:26

Encontrar todos os números naturais [tex3]n[/tex3] tais que [tex3]\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}}[/tex3] seja um número racional.

precisamos necessariamente que [tex3]\frac{4n-2}{n+5}[/tex3] seja um quadrado perfeito. Como o problema é muito simples, podemos encontrar todos os inteiros tais que [tex3]\frac{4n-2}{n+5} \in \mathbb Z[/tex3] e ver quais dão quadrados perfeitos na expressão:

[tex3]\frac{4n-2}{n+5} = \frac{4(n+5) - 22}{n+5} = 4 - \frac{22}{n+5}[/tex3]
vou deixar você terminar

Mensagem não lidapor **Hanon** » Sex 30 Mar, 2018 15:08 · Mensagem não lida por **Hanon** » Sex 30 Mar, 2018 15:08

sousóeu escreveu: ↑
Sex 30 Mar, 2018 14:26
precisamos necessariamente que [tex3]\frac{4n-2}{n+5}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4n-2}{n+5}[/tex3]

seja um quadrado perfeito. Como o problema é muito simples, podemos encontrar todos os inteiros tais que [tex3]\frac{4n-2}{n+5} \in \mathbb Z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{4n-2}{n+5} \in \mathbb Z[/tex3]

e ver quais dão quadrados perfeitos na expressão:

Porque [tex3]\frac{4n-2}{n+5} [/tex3] tem que pertencer aos inteiros? Por exemplo [tex3]\frac{25}{9}[/tex3] satisfaz o problema .

Edit: neste caso acima seria para [tex3]n=13[/tex3]

Veja:

[tex3]\sqrt\frac{4n-2}{5+n}=\frac{1}{5+n}\sqrt{4n^2+18n-10}[/tex3]

Temos que fazer a expressão [tex3]\sqrt{4n^2+18n-10}[/tex3] ser um quadrado perfeito. Para isso, seja [tex3]x\in \mathbb{Q}[/tex3] tal que

[tex3]4n^2+18n-10=(2n-2x)^2=4n^2-8nx+4x^2\\
9n-5=-4nx+2x^2\\
9n+4nx=5+2x^2\\
n=\frac{5+2x^2}{9+4x}\\
9+4x\geq 0\\
x\geq -\frac{9}{4}[/tex3]

Edit: esqueci que n é natural. Mas dá pra finalizar o problema a partir daqui eu acho. Basta tomar [tex3]x=\frac{p}{q}[/tex3]

[tex3]4(n+2)^2 \leq 4n^2 + 18n -10 \leq 4(n+3)^2 [/tex3]
talvez seja mais útil

só esclarecendo:
[tex3]\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}} \in \mathbb Q \iff (n+5)\sqrt{\frac{4n-2}{n+5}} \in \mathbb Q \iff \sqrt{(n+5)(4n-2)} \in \mathbb Q \iff (n+5)(4n-2)[/tex3] é quadrado perfeito.

[tex3]4n^2 + 16n + 16 = 4n^2 + 18n -10 \iff2n = 26 \iff n=13[/tex3]
ou
[tex3]4n^2 + 24n + 36 = 4n^2 + 18n - 10 \iff 6n =46 [/tex3] absurdo
logo realmente n=13 é a única solução.

[tex3]\frac{4n-2}{n+5}=x^2 \rightarrow 4n-2=nx^2+5x^2 \rightarrow n(4-x^2)=5x^2+2 \rightarrow n=\frac{5x^2+2}{4-x^2}[/tex3]
Isso sim precisa ser um inteiro.
[tex3]-\frac{5x^2+2}{x^2-4}=-(\frac{5(x^2-4)+22}{x^2-4})=-(5+\frac{22}{x^2-4})[/tex3]
[tex3]n+5=-\frac{22}{x^2-4}[/tex3]
[tex3]x^2-4 \leq 22 \rightarrow x^2 \leq 26[/tex3]
Observe que não há valor inteiro de x que satisfaça, então x é racional. Tome [tex3]x=\frac{p}{q}[/tex3] , [tex3](p,q)=1[/tex3]
[tex3]n+5=\frac{22q^2}{p^2-4q^2}[/tex3]
Verifiquemos [tex3](q^2,p^2-4q^2)=(q^2,p^2)=1[/tex3] , então a fração [tex3]\frac{q^2}{p^2-4q^2}[/tex3] também é irredutível. Segue que [tex3]p^2-4q^2[/tex3] é fator de 22, ou seja, -22, -11, -2, -1, 1, 2, 11, 22
[tex3](p+2q)(p-2q)=d[/tex3]
Montando os sistemas e verificando os que tem solução, chegamos no único par (p,q)=(5,3), para d=-11

Se eu não errei em nada, me parece que a única solução é essa que você citou, Hanon.

Mensagem não lidapor **Hanon** » Sex 30 Mar, 2018 17:27 · Mensagem não lida por **Hanon** » Sex 30 Mar, 2018 17:27

Caros amigos, muito obrigado pelas importantes considerações.

undefinied3, essa parte [tex3](p+2q)(p-2q)=d[/tex3] não seria [tex3](p+2q)(2q-p)=d[/tex3] ?

Verdade, eu comi o sinal de menos ali de antes.

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