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Olimpíadas ⇒ Geometria/ângulo Tópico resolvido
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Hanon 
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Mar 2018
27
14:18
Geometria/ângulo
Na figura, [tex3]AB=2BC[/tex3]
e [tex3]2CM=5BM[/tex3]
, [tex3]OB[/tex3]
é bissetriz do ângulo reto [tex3]B[/tex3]
. Encontre a medida do angulo [tex3]< ACO[/tex3]
,
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Mar 2018
27
15:18
Re: Geometria/ângulo
Fiz por geometria analítica, nos seguintes passos:
1) Ponha: A = (0,0) e B = (1,0)
2) Determina as coordenadas de M e C utilizando os dados no enunciado.
3) Calcule a equação da reta AM. (Você conhece A e M)
4) Calcule a equação da reta BO. (Você conhece B e a sua Inclinação: Tg( 3pi/4 ) )
5) Resolva o sistema para encontrar a intersecção entra essas duas retas. (Que por usa vêz é o ponto O)
6) Por geometria analítica, se x é o ângulo que queremos então, cosx = < vetor(CA) | vetor(CO) > / norma(CA) * norma(CO)
7) Resultado final: x = arccos( cosx ). Meu resultado deu: x ≃ 67 graus.
Posso ter errado alguma conta, mas o procedimento deve resolver. Tentem resolver desse modo. hehehe
Para quem não sabe, < a | b > é a notação que eu uso para o produto interno usual (produto escalar) de vetores.
1) Ponha: A = (0,0) e B = (1,0)
2) Determina as coordenadas de M e C utilizando os dados no enunciado.
3) Calcule a equação da reta AM. (Você conhece A e M)
4) Calcule a equação da reta BO. (Você conhece B e a sua Inclinação: Tg( 3pi/4 ) )
5) Resolva o sistema para encontrar a intersecção entra essas duas retas. (Que por usa vêz é o ponto O)
6) Por geometria analítica, se x é o ângulo que queremos então, cosx = < vetor(CA) | vetor(CO) > / norma(CA) * norma(CO)
7) Resultado final: x = arccos( cosx ). Meu resultado deu: x ≃ 67 graus.
Posso ter errado alguma conta, mas o procedimento deve resolver. Tentem resolver desse modo. hehehe
Para quem não sabe, < a | b > é a notação que eu uso para o produto interno usual (produto escalar) de vetores.
Última edição: 1o0oP (Ter 27 Mar, 2018 15:51). Total de 1 vez.
Mar 2019
24
17:34
Re: Geometria/ângulo
Eu tenho uma idéia aqui mais só poderei por em prática mais tarde!! Aguarda um pouco que acredito que saia
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mar 2019
28
11:19
Re: Geometria/ângulo
VOLTEI PARA RESOLVER O PROBLEMA DO TIO HANON!! Perdoe a demora, fisica da lumbreras está me sugando!!
Os dados fornecidos são para te ferrar então sejamos malandros, façamos [tex3]BM=2a[/tex3] então [tex3]CM=5a[/tex3] e [tex3]AB=14a[/tex3] a partir desse momento começam as loucuras pois voce vai precisa conhecer senos e cossenos de angulos notáveis mas pouco falados!!!
No [tex3]\Delta ABC[/tex3] temos a proporção [tex3]k,2k,k\sqrt{5}[/tex3] portanto os angulos [tex3]A,B,C[/tex3] são respectivamente [tex3]\frac{53}{2},90,\frac{127}{2}[/tex3] massa
No [tex3]\Delta ABM [/tex3] temos as proporções [tex3]k,7k,5k\sqrt{2}[/tex3] portanto os angulos [tex3]A,B,M[/tex3] serão respectivamente [tex3]8,90,82[/tex3]
Pelo teorema do angulo externo
[tex3]MoB=8+45=53[/tex3]
Pelo teorema do boomerang em [tex3]AoC=\frac{127+180+16}{2}-x=\frac{323}{2}-x[/tex3] BELEZA agora é sangrar nas contas!!
Lei dos senos em [tex3]\Delta OMB[/tex3]
[tex3]\frac{OB}{sen82}=\frac{2a}{sen53}[/tex3]
[tex3]\frac{OB}{\frac{7}{5\sqrt{2}}}=\frac{2a}{\frac{4}{5}}[/tex3]
[tex3]OB=\frac{7a\sqrt{2}}{4}[/tex3]
Lei dos senos em [tex3]\Delta AOB[/tex3]
[tex3]\frac{OB}{sen8}=\frac{AO}{sen45}[/tex3]
[tex3]\frac{AO}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{7a\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{5\sqrt{2}}}[/tex3]
[tex3]AO=\frac{35a\sqrt{2}}{4}[/tex3]
Lei dos senos em [tex3]\Delta AOC[/tex3]
[tex3]\frac{7a\sqrt{5}}{sen(\frac{323}{2}-x)}=\frac{\frac{35a\sqrt{2}}{4}}{senx}[/tex3] AGORA É SÓ SORRIR!!
[tex3]\frac{\sqrt{5}}{-sen(\frac{37}{2})*cosx-senx*cos(\frac{37}{2})}=\frac{5\sqrt{2}}{4senx}[/tex3] \frac{}{}
[tex3]\frac{\sqrt{5}}{-(\frac{1}{\sqrt{10}})*cosx-senx*(\frac{3}{\sqrt{10}})}=\frac{5\sqrt{2}}{4senx}[/tex3]
[tex3]\frac{5\sqrt{2}}{-cosx-3senx}=\frac{5\sqrt{2}}{4senx}[/tex3]
[tex3]-cosx=7senx[/tex3]
[tex3]cos^2x=49sen^2x[/tex3]
Pela lei fundamental da trigonometria
[tex3]50cos^2x=1[/tex3]
[tex3]cosx=\frac{1}{5\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]cosx=0,14[/tex3] acho que errei conta!!!
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mar 2019
28
11:31
Re: Geometria/ângulo
AH HA!! ACHEI O ERRO!jvmago escreveu: ↑Qui 28 Mar, 2019 11:19VOLTEI PARA RESOLVER O PROBLEMA DO TIO HANON!! Perdoe a demora, fisica da lumbreras está me sugando!!
Os dados fornecidos são para te ferrar então sejamos malandros, façamos [tex3]BM=2a[/tex3] então [tex3]CM=5a[/tex3] e [tex3]AB=14a[/tex3] a partir desse momento começam as loucuras pois voce vai precisa conhecer senos e cossenos de angulos notáveis mas pouco falados!!!
No [tex3]\Delta ABC[/tex3] temos a proporção [tex3]k,2k,k\sqrt{5}[/tex3] portanto os angulos [tex3]A,B,C[/tex3] são respectivamente [tex3]\frac{53}{2},90,\frac{127}{2}[/tex3] massa
No [tex3]\Delta ABM [/tex3] temos as proporções [tex3]k,7k,5k\sqrt{2}[/tex3] portanto os angulos [tex3]A,B,M[/tex3] serão respectivamente [tex3]8,90,82[/tex3]
Pelo teorema do angulo externo
[tex3]MoB=8+45=53[/tex3]
Pelo teorema do boomerang em [tex3]AoC=\frac{127+180+16}{2}-x=\frac{323}{2}-x[/tex3] BELEZA agora é sangrar nas contas!!
Lei dos senos em [tex3]\Delta OMB[/tex3]
[tex3]\frac{OB}{sen82}=\frac{2a}{sen53}[/tex3]
[tex3]\frac{OB}{\frac{7}{5\sqrt{2}}}=\frac{2a}{\frac{4}{5}}[/tex3]
[tex3]OB=\frac{7a\sqrt{2}}{4}[/tex3]
Lei dos senos em [tex3]\Delta AOB[/tex3]
[tex3]\frac{OB}{sen8}=\frac{AO}{sen45}[/tex3]
[tex3]\frac{AO}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{7a\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{5\sqrt{2}}}[/tex3]
[tex3]AO=\frac{35a\sqrt{2}}{4}[/tex3]
Lei dos senos em [tex3]\Delta AOC[/tex3]
[tex3]\frac{7a\sqrt{5}}{sen(\frac{323}{2}-x)}=\frac{\frac{35a\sqrt{2}}{4}}{senx}[/tex3] AGORA É SÓ SORRIR!!
[tex3]\frac{\sqrt{5}}{-sen(\frac{37}{2})*cosx-senx*cos(\frac{37}{2})}=\frac{5\sqrt{2}}{4senx}[/tex3] \frac{}{}
[tex3]\frac{\sqrt{5}}{-(\frac{1}{\sqrt{10}})*cosx-senx*(\frac{3}{\sqrt{10}})}=\frac{5\sqrt{2}}{4senx}[/tex3]
[tex3]\frac{5\sqrt{2}}{-cosx-3senx}=\frac{5\sqrt{2}}{4senx}[/tex3]
[tex3]-cosx=7senx[/tex3]
[tex3]cos^2x=49sen^2x[/tex3]
Pela lei fundamental da trigonometria
[tex3]50cos^2x=1[/tex3]
[tex3]cosx=\frac{1}{5\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]cosx=0,14[/tex3] acho que errei conta!!!
Onde se lê
[tex3]50cos^2x=1[/tex3]
[tex3]cosx=\frac{1}{5\sqrt{2}}[/tex3]
[tex3]cosx=0,14[/tex3]
o correto é [tex3]50sen^2x=1[/tex3] agora sim disgrassa!!
[tex3]senx=0,14[/tex3] que vai ser alguma coisa entre [tex3]8[/tex3] e [tex3]9 [/tex3] graus!!
[tex3]PIMBADA[/tex3]
Se usar aproximação, [tex3]x=8º[/tex3]
Última edição: jvmago (Qui 28 Mar, 2019 11:33). Total de 1 vez.
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
Mar 2019
28
12:21
Re: Geometria/ângulo
iSSO SIM É UMA PIMBADA NERVOSA!
Não importa se você é magrinho ou gordinho, alto ou baixo, o que te difere dos outros é quando expõe seus conhecimentos.
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