Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Hanon** » Sex 06 Jul, 2018 13:22 · Mensagem não lida por **Hanon** » Sex 06 Jul, 2018 13:22

Encontre todas as soluções inteiras positivas da equação:
[tex3]7^x+x^4+47=y^2[/tex3]

Observe

Solução:

Se x for ímpar, temos que 7 [tex3]^{x}[/tex3] ≡-1( mod 4 ), então x⁴ ≡ 1( mod 4 ) pois x² ≡ 1( mod 4 ) e 47 ≡ 3( mod 4 ), portanto 7 [tex3]^{x}[/tex3] + x⁴ + 47 ≡ 3( mod 4 ), e uma vez em que não existe quadrados perfeitos desta forma, não há soluções neste caso.

Vamos supor que x = 2t, para algum número inteiro positivo t . Para t ≥ 4, temos

( 7 [tex3]^{t}[/tex3] )² < 7 [tex3]^{2t}[/tex3] + (2t)⁴ + 47 < ( 7 [tex3]^{t}[/tex3] + 1 )².

De fato, a desigualdade à esquerda é clara, e a da direita é;

7 [tex3]^{2t}[/tex3] +16t⁴ + 47 < 7 [tex3]^{2t}[/tex3] + 2.7 [tex3]^{t}[/tex3] + 1 ⟺

16t⁴ + 46 < 2.7 [tex3]^{t}[/tex3] ⟺

8t⁴ + 23 < 7 [tex3]^{t}[/tex3] , o que pode ser justificado usando indução matemática.

Basta considerarmos t ∈ { 1 , 2 , 3 }. Somente t = 2 produz uma solução.

Logo, x = 4 , y = 52 é a única solução ( inteira e positiva ) para a equação dada.

Nota

x = 2.t = 2.2 → x = 4

e

7⁴ + 4⁴ + 47 = y²

y² = 2401 + 256 + 47

y = ± √2704

y = ± 52 , como y ∈ Z [tex3]_{+}[/tex3] , logo y = 52.

Bons estudos!

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Equação Diofantina

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