Olimpíadas ⇒ (Argentina) Progressão Aritmética Tópico resolvido

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Para um livro de 49 páginas, prove que existe um valor de x tal que a soma dos números das páginas antes de x é igual a soma dos números das páginas depois de x. Ache x:
a) 37.
b) 36.
c) 35.
d) 34.
e) 33.

Resposta

---

Letra C

[Optmistic]

Olá !


O nosso primeiro termo é 1 pois começamos da página 1, e o nosso último termo é o 49 .

Sn = (a1 + an).n/2

S49 = (1 + 49).49/2

S49 = 50.49/2

S49 = 25.49

S49 = 1225 é a soma.

subtraímos o termo do meio = x

(1225 - x)

A metade dele = (1225 - x)/2

Agora substituímos novamente ...

(1225 - x)/2 = (a1 + an).n/2

(1225 - x)/2 = (1 + (x-1)).(x-1)/2 -----(lembre-se que (x-1) é o último termo e a quantidade de termos da primeira soma antes de x)

1225 - x = (x-1) + (x-1)^2

1225 - x = (x-1) + x² - 2x + 1

1225 - x = x - 1 + x² - 2x + 1

1225 - x = - x + x²

1225 = x²

x = raiz 1225

x = 35 é o termo.

[Auto Excluído (ID:20330)]

Outra forma

De 1 até x
a1 = 1
an = x
n = (x - 1) + 1 = x

Sn1 = (x + 1)x/2

De x até 49
a1 = x
an = 49
n = (49 - x) + 1 = 50 - x

Sn2 = (x + 49)(50 - x)/2

Sn1 = Sn2
(x + 1).x/2 = (x + 49)(50 - x)/2
x² + x = 50x - x² + 2450 - 49x
2x² = 2450
x² = 1225
x = 35 ou x = -35
35 é a solução.