Olimpíadas ⇒ França 1995 (Sequências) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
09
19:45
França 1995 (Sequências)
Estude a convergência da sequência definida por [tex3]n_0\geq0[/tex3]
e [tex3]u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}, \ \ \forall \ n \in \mathbb{N_0}[/tex3]
.
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Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2018
09
21:24
Re: França 1995 (Sequências)
vou começar:
considere [tex3]u_0 = p > 0[/tex3]
se [tex3]p = \sqrt{p} + 1 \iff p = (\frac{1 + \sqrt5}2)^2 = \phi^2[/tex3]
dividiremos a sequência em dois tipos:
Se [tex3]0<u_0 < \phi^2[/tex3] então [tex3]u_n < \phi ^2\,\,\, \forall n[/tex3]
obviamente [tex3]u_0 < \phi ^2[/tex3] agora suponha que [tex3]u_n < \phi ^2[/tex3]
então [tex3]u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1} < \phi + 1 = \phi ^2 [/tex3]
logo a sequência é limitada.
Se [tex3]u_0 \geq \phi ^2[/tex3] então [tex3]u_n \leq u_0 \forall n[/tex3]
pois a função [tex3]f(x) = x^2 - x -1[/tex3] é maior que zero para [tex3]x > \phi[/tex3]
isso implica que [tex3]u_1 = \sqrt u_0 +1 \leq u_0[/tex3]
suponha agora [tex3]u_n < u_0[/tex3] então [tex3]u_{n+1} = \sqrt{u_n} +\frac{1}{n+1} < \sqrt{u_0} +1 < u_0[/tex3]
então a sequências são sempre limitadas!
considere [tex3]u_0 = p > 0[/tex3]
se [tex3]p = \sqrt{p} + 1 \iff p = (\frac{1 + \sqrt5}2)^2 = \phi^2[/tex3]
dividiremos a sequência em dois tipos:
Se [tex3]0<u_0 < \phi^2[/tex3] então [tex3]u_n < \phi ^2\,\,\, \forall n[/tex3]
obviamente [tex3]u_0 < \phi ^2[/tex3] agora suponha que [tex3]u_n < \phi ^2[/tex3]
então [tex3]u_{n+1} =\sqrt{u_n} + \frac{1}{n+1} < \phi + 1 = \phi ^2 [/tex3]
logo a sequência é limitada.
Se [tex3]u_0 \geq \phi ^2[/tex3] então [tex3]u_n \leq u_0 \forall n[/tex3]
pois a função [tex3]f(x) = x^2 - x -1[/tex3] é maior que zero para [tex3]x > \phi[/tex3]
isso implica que [tex3]u_1 = \sqrt u_0 +1 \leq u_0[/tex3]
suponha agora [tex3]u_n < u_0[/tex3] então [tex3]u_{n+1} = \sqrt{u_n} +\frac{1}{n+1} < \sqrt{u_0} +1 < u_0[/tex3]
então a sequências são sempre limitadas!
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Sex 09 Fev, 2018 21:52). Total de 2 vezes.
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