OlimpíadasFrança 2005 (Teoria dos Números) Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Fev 2018 09 15:47

França 2005 (Teoria dos Números)

Mensagem não lida por Hanon »

Sejam [tex3]x,y[/tex3] dois inteiros positivos, tais que [tex3]3x^2+x=4y^2+y[/tex3] . Prove que [tex3]x-y[/tex3] é um quadrado perfeito.




Auto Excluído (ID:17906)
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Fev 2018 09 17:32

Re: França 2005 (Teoria dos Números)

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Essa é uma solução bem peculiar, que não sei se faz muito sentido. Mas já observei uma questão parecida em um livro peruano.
[tex3]3x^{2}+x=4y^{2}+y[/tex3]
[tex3](8x+1)^{2}=(4x)^{2}+(8y+1)^{2}[/tex3] , devemos então, transformar [tex3](8x+1),4x,(8y+1)[/tex3] nos lados de um triângulo pitagórico.
Dessa maneira podemos usar uma relação.
Ex: Para um triângulo de lados [tex3]5,4,3[/tex3] , temos:
[tex3]\begin{cases}
a^{2}+b^{2}=5 \\
2ab=4 \\
a^{2}-b^{2}=3
\end{cases}[/tex3] .
Dessa forma, [tex3]a=2,b=1[/tex3] .
Temos então que em nosso triângulo [tex3](8x+1),4x,(8y+1)[/tex3] , temos:
[tex3]\begin{cases}
a^{2}+b^{2}=8x+1 \\
2ab=4x \\
a^{2}-b^{2}=8y+1
\end{cases}[/tex3] .
Temos então que, [tex3]\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=x-y[/tex3] , ou seja, como estamos tratando de números inteiros segundo o enunciado, [tex3]x-y[/tex3] é um quadrado perfeito.




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Andre13000
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Re: França 2005 (Teoria dos Números)

Mensagem não lida por Andre13000 »

Só faltou um detalhe na sua solução. A ideia do triângulo é interessante, e essa fórmula que você usou é mais conhecida como relação de Euclides. Veja que se

[tex3]x^2+y^2=z^2[/tex3]

Temos, no universo dos inteiros positivos

[tex3]x=2pqk\\
y=(p^2-q^2)k\\
z=(p^2+q^2)k[/tex3]

Essa constante k é importante para a solução ser completa. Sem ela, não estamos olhando para todas as ternas pitagóricas.


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alexander4102
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Re: França 2005 (Teoria dos Números)

Mensagem não lida por alexander4102 »

Na verdade, a solução apresentada está praticamente correta.
Continuando, a equação é equivalente a:
[tex3](8x+1)^2 = (4x)^2 + (8y+1)^2[/tex3]

Vamos provar o seguinte:
Se [tex3]x^2 + y^2 = z^2[/tex3] e [tex3]mdc(x,y,z)=1[/tex3] . Temos
[tex3]x = u^2 - v^2[/tex3] , [tex3]y=2uv[/tex3] e [tex3]z=u^2+v^2[/tex3] ou
[tex3]x = 2uv[/tex3] , [tex3]y=u^2-v^2[/tex3] e [tex3]z=u^2+v^2[/tex3]
onde [tex3]mdc(u.v)=1[/tex3] e [tex3]u+v[/tex3] ímpar.

Demonstração:
Note que devemos ter [tex3]mdc(x,y)=mdc(x,z)=mdc(y,z)=1[/tex3] .
Além disso, se [tex3]x,y[/tex3] forem ambos ímpares, temos [tex3]z^2 \equiv 2 \pmod 4[/tex3] .
Logo, [tex3]x,y[/tex3] possuem paridades distintas e [tex3]z[/tex3] é ímpar.
Suponha sem perda de generalidade que [tex3]y[/tex3] é par. O outro caso é análogo.
Então, a equação pode ser reescrita como:
[tex3]y^2 = z^2 - x^2[/tex3]
[tex3]\left( \dfrac{y}{2}\right)^2 = \left( \dfrac{z+x}{2}\right) \left(\dfrac{z-x}{2} \right)[/tex3]

Como [tex3]mdc(z+x,z-x)=mdc(z+x,2z)=mdc(z+x,2)=2[/tex3] , temos [tex3]mdc\left( \dfrac{z+x}{2},\dfrac{z-x}{2}\right) = 1[/tex3] .
Logo, existem inteiros [tex3]u,v[/tex3] tais que
[tex3]\dfrac{z+x}{2} =u^2[/tex3] e [tex3]\dfrac{z-x}{2} = v^2[/tex3] onde [tex3]mdc(u,v)=1[/tex3] e [tex3]u,v[/tex3] são de paridades distintas.
Portanto.
[tex3]x = u^2 - v^2[/tex3] , [tex3]z=u^2+v^2[/tex3] e [tex3]y=2uv[/tex3] .

Como [tex3]mdc(8x+1,4x,8y+1) = mdc(mdc(8x+1,4x),8y+1)=1[/tex3] e [tex3]4x[/tex3] é par, temos
[tex3]8y+1 = u^2 - v^2[/tex3] , [tex3]4x = 2uv[/tex3] e [tex3]8x+1 = u^2 + v^2[/tex3] .

Portanto, [tex3]2v^2 = 8(x-y)[/tex3] , [tex3]v[/tex3] é par e [tex3]x-y = \left(\dfrac{v}{2}\right)^2[/tex3]




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