equações:
[tex3]\begin{cases}
xy=z-x-y\\
xz=y-x-z\\
yz=x-y-z
\end{cases}[/tex3]
Resposta
S={(-2,0-2), (-2,-2,0), (0,0,0), (0,-2,-2), (-1,-1,-1)}
Olimpíadas ⇒ Canadá 2004 (Sistema de Equação) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
08
21:37
Canadá 2004 (Sistema de Equação)
Encontre todos as triplas ordenados [tex3](x, y, z)[/tex3]
de números reais que satisfaçam o seguinte sistema de
equações:
[tex3]\begin{cases}
xy=z-x-y\\
xz=y-x-z\\
yz=x-y-z
\end{cases}[/tex3]
S={(-2,0-2), (-2,-2,0), (0,0,0), (0,-2,-2), (-1,-1,-1)}
equações:
[tex3]\begin{cases}
xy=z-x-y\\
xz=y-x-z\\
yz=x-y-z
\end{cases}[/tex3]
S={(-2,0-2), (-2,-2,0), (0,0,0), (0,-2,-2), (-1,-1,-1)}
Fev 2018
08
21:46
Re: Canadá 2004 (Sistema de Equação)
Somando as 2 últimas:
[tex3]-2z = z\cdot (x+y) [/tex3]
Então [tex3]z = 0 [/tex3] ou [tex3]x+y=-2 [/tex3]
só resolver os 2 casos.
[tex3]-2z = z\cdot (x+y) [/tex3]
Então [tex3]z = 0 [/tex3] ou [tex3]x+y=-2 [/tex3]
só resolver os 2 casos.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Fev 2018
08
22:14
Re: Canadá 2004 (Sistema de Equação)
Muito interessante e criativo oq vc fez, mas veja como fica:
I) Se [tex3]z=0 \implies \boxed{x=y} ...... (i)[/tex3]
Substituindo [tex3](i)[/tex3] na primeira equação e usando [tex3]x+y=-2[/tex3] , temos:
[tex3]xy=z-(x+y)[/tex3]
[tex3]x\cdot x=0-(-2)[/tex3]
[tex3]x^2=2 \implies x=\sqrt{2}[/tex3]
Onde estou errando?
I) Se [tex3]z=0 \implies \boxed{x=y} ...... (i)[/tex3]
Substituindo [tex3](i)[/tex3] na primeira equação e usando [tex3]x+y=-2[/tex3] , temos:
[tex3]xy=z-(x+y)[/tex3]
[tex3]x\cdot x=0-(-2)[/tex3]
[tex3]x^2=2 \implies x=\sqrt{2}[/tex3]
Onde estou errando?
Fev 2018
08
22:17
Re: Canadá 2004 (Sistema de Equação)
É [tex3]z = 0 [/tex3]
ou [tex3]x+y = -2 [/tex3]
Não necessariamente os 2 casos ao mesmo tempo
Não necessariamente os 2 casos ao mesmo tempo
Última edição: Ittalo25 (Qui 08 Fev, 2018 22:18). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Fev 2018
08
23:57
Re: Canadá 2004 (Sistema de Equação)
, não me atentei para isso, grata. Então fica:
I) Se [tex3]z=0 \implies x=y[/tex3] :
[tex3]xy=z-x-y[/tex3]
[tex3]x\cdot x=0-x-x[/tex3]
[tex3]x^2=-2x\\
x^2+2x=0\\
x(x+2)=0[/tex3]
Duas possibilidades:
[tex3](i)[/tex3] :
[tex3]\boxed{x=0 \ \ \therefore \ \ y=0}[/tex3]
ou
[tex3](ii)[/tex3] :
[tex3]x+2=0\implies \boxed{x=-2 \ \ \therefore \ \ y=-2}[/tex3]
II) Se [tex3]x+y=-2[/tex3] :
[tex3]xy=z-x-y[/tex3]
[tex3]xy=z-(x+y)[/tex3] .
[tex3]xy=z-(-2)[/tex3]
[tex3]xy=z+2 [/tex3]
Agora, de [tex3](i) \ \ \ e \ \ \ (ii)[/tex3] , temos dois casos:
Para [tex3]x=0[/tex3] :
[tex3]xy=z-x-y[/tex3]
[tex3]0=z-0-y \implies \boxed{z=y}[/tex3]
Para [tex3]x=-2[/tex3] :
[tex3]-2y=z+2-y[/tex3]
[tex3]z+2=y-2y[/tex3] , mas [tex3]z=y [/tex3] :
[tex3]z+2=z-2z \implies \boxed{y=z=-1 \ \ \therefore \ \ x=-1}[/tex3]
Logo, o conjunto solução, será:
[tex3]S= \{(0,0,0), \ (-2,-2,0) , \ (-2,0,-2), \ (0,-2,-2), \ (-1,-1,-1)\}[/tex3]
Última edição: Babi123 (Sex 09 Fev, 2018 00:00). Total de 1 vez.
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