[tex3]a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_n[/tex3] , [tex3]\forall \ n \in \mathbb{N}[/tex3]
Calcular [tex3]a_{2004}[/tex3] .
Resposta
Gabarito: [tex3]a_{2004}=\frac{2003!}{2^{2002}\cdot \(1001!\)^2}[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Sequências Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
07
23:26
Sequências
Considerando a sequência [tex3](a_n)[/tex3]
, dada por [tex3]a_1=a_2=1[/tex3]
e
[tex3]a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_n[/tex3] , [tex3]\forall \ n \in \mathbb{N}[/tex3]
Calcular [tex3]a_{2004}[/tex3] .
Gabarito: [tex3]a_{2004}=\frac{2003!}{2^{2002}\cdot \(1001!\)^2}[/tex3]
[tex3]a_{n+2}=\frac{1}{a_{n+1}}+a_n[/tex3] , [tex3]\forall \ n \in \mathbb{N}[/tex3]
Calcular [tex3]a_{2004}[/tex3] .
Gabarito: [tex3]a_{2004}=\frac{2003!}{2^{2002}\cdot \(1001!\)^2}[/tex3]
Última edição: caju (Qua 07 Fev, 2018 23:44). Total de 2 vezes.
Razão: Colocar spoiler na resposta.
Razão: Colocar spoiler na resposta.
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alexander4102 
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Fev 2018
08
15:12
Re: Sequências
Podemos reescrever a relação como:
[tex3]a_{n+1}a_{n+2} = 1 + a_na_{n+1}[/tex3]
Então, fazendo [tex3]b_n = a_na_{n+1}[/tex3] , obtemos [tex3]b_n = n[/tex3] , ou seja, [tex3]a_{n+1} = \dfrac{n}{a_n}[/tex3]
Logo, podemos construir as seguintes fórmulas:
[tex3]a_{2k} = \dfrac{2k-1}{a_{2k-1}} = \dfrac{(2k-1)a_{2k-2}}{2k-2} = \dots = \dfrac{(2k-1)(2k-3)\cdots(3)}{(2k-2)(2k-4)\cdots (2)} a_2[/tex3]
[tex3]a_{2k} = \dfrac{(2k-1)!}{[(2k-2)\cdots2]^2} = \dfrac{(2k-1)!}{[2^{k-1} (k-1)!]^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{a_{2k} = \dfrac{(2k-1)!}{2^{2k-2} \cdot [(k-1)!]^2}}[/tex3]
[tex3]a_{2k+1} = \dfrac{2k}{a_{2k}} = \dfrac{(2k) \cdot 2^{2k-2} \cdot [(k-1)!]^2}{(2k-1)!} = \dfrac{2^2 k^2 \cdot 2^{2k-2} \cdot [(k-1)!]^2}{(2k)!}[/tex3]
[tex3]\boxed{a_{2k+1} = \dfrac{2^{2k} \cdot (k!)^2}{(2k)!}}[/tex3]
Portanto, [tex3]a_{2004} = \dfrac{2003!}{2^{2002}\cdot (1001!)^2}[/tex3]
[tex3]a_{n+1}a_{n+2} = 1 + a_na_{n+1}[/tex3]
Então, fazendo [tex3]b_n = a_na_{n+1}[/tex3] , obtemos [tex3]b_n = n[/tex3] , ou seja, [tex3]a_{n+1} = \dfrac{n}{a_n}[/tex3]
Logo, podemos construir as seguintes fórmulas:
[tex3]a_{2k} = \dfrac{2k-1}{a_{2k-1}} = \dfrac{(2k-1)a_{2k-2}}{2k-2} = \dots = \dfrac{(2k-1)(2k-3)\cdots(3)}{(2k-2)(2k-4)\cdots (2)} a_2[/tex3]
[tex3]a_{2k} = \dfrac{(2k-1)!}{[(2k-2)\cdots2]^2} = \dfrac{(2k-1)!}{[2^{k-1} (k-1)!]^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{a_{2k} = \dfrac{(2k-1)!}{2^{2k-2} \cdot [(k-1)!]^2}}[/tex3]
[tex3]a_{2k+1} = \dfrac{2k}{a_{2k}} = \dfrac{(2k) \cdot 2^{2k-2} \cdot [(k-1)!]^2}{(2k-1)!} = \dfrac{2^2 k^2 \cdot 2^{2k-2} \cdot [(k-1)!]^2}{(2k)!}[/tex3]
[tex3]\boxed{a_{2k+1} = \dfrac{2^{2k} \cdot (k!)^2}{(2k)!}}[/tex3]
Portanto, [tex3]a_{2004} = \dfrac{2003!}{2^{2002}\cdot (1001!)^2}[/tex3]
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