Olimpíadas ⇒ Valor máximo Tópico resolvido

[Babi123]

Sejam [tex3]x, \ y, \ z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x, \ y, \ z[/tex3]

números reais positivos, tais que [tex3]x+y+z=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+y+z=3[/tex3]

. Encontre o valor máximo alcançado por:
[tex3]\sqrt{x}+\sqrt{2y+2}+\sqrt{3z+6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x}+\sqrt{2y+2}+\sqrt{3z+6}[/tex3]

e para que valor de [tex3]x, \ y, \ z[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x, \ y, \ z[/tex3]

se alcança esse valor máximo?

[Auto Excluído (ID:12031)]

parece Cauchy-Schwarz
[tex3](\sqrt x + \sqrt{2} \sqrt{y+1} + \sqrt{3}\sqrt{z+2})^2 \leq(x + y +1 +z +2)(1 + 2 +3) = 6^2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\sqrt x + \sqrt{2} \sqrt{y+1} + \sqrt{3}\sqrt{z+2})^2 \leq(x + y +1 +z +2)(1 + 2 +3) = 6^2[/tex3]

logo
[tex3]\sqrt{x} + \sqrt{2y+2} + \sqrt{3z+6} \leq 6[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x} + \sqrt{2y+2} + \sqrt{3z+6} \leq 6[/tex3]

a igualdade ocorre quando [tex3]\frac{\sqrt x}{1} = \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt{z+2}}{\sqrt3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{\sqrt x}{1} = \frac{\sqrt{y+1}}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt{z+2}}{\sqrt3}[/tex3]

ou seja [tex3]z+2 =3x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z+2 =3x[/tex3]

e [tex3]y+1 = 2x[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y+1 = 2x[/tex3]

logo [tex3]x+y+1 + z+2 = 6 = x +2x + 3x \iff x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x+y+1 + z+2 = 6 = x +2x + 3x \iff x=1[/tex3]

,[tex3]y=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=1[/tex3]

e [tex3]z=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z=1[/tex3]