Determinar todos os pares [tex3](m,n)[/tex3]
de inteiros positivos [tex3]m[/tex3]
e [tex3]n[/tex3]
tais que
[tex3]\frac{3^m+3}{2^n+2^{n-1}}[/tex3]
é um número inteiro.
Olimpíadas ⇒ Número inteiro. Tópico resolvido
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alexander4102 
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Fev 2018
07
19:43
Re: Número inteiro.
Resposta: [tex3](k,1)[/tex3]
, [tex3](k,2)[/tex3]
e [tex3](2k, 3)[/tex3]
onde [tex3]k[/tex3]
é inteiro positivo.
1) Se [tex3]n=1[/tex3] , devemos ter [tex3]\dfrac{3^m + 3}{3}[/tex3] inteiro, o que é sempre verdade.
2) Se [tex3]n=2[/tex3] , devemos ter [tex3]\dfrac{3^m + 3}{6} = \dfrac{3^{m-1} + 1}{2}[/tex3] inteiro, o que é sempre verdade.
3) Se [tex3]n=3[/tex3] , devemos ter [tex3]\dfrac{3^m + 3}{12} = \dfrac{3^{m-1} + 1}{4}[/tex3] .
Logo, olhando módulo [tex3]4[/tex3] , devemos ter:
[tex3]3^{m-1} \equiv -1 \pmod 4 \iff (-1)^{m-1} \equiv -1 \pmod 4[/tex3]
Logo, devemos ter [tex3]m[/tex3] par.
4) Agora suponha que [tex3]n>3[/tex3] , então [tex3]8|2^n + 2^{n-1} \Rightarrow 8|3^m + 3[/tex3] . Olhando módulo [tex3]8[/tex3] , devemos ter
[tex3]3^m \equiv -3 \pmod 8[/tex3]
Porém, note que uma potência de [tex3]3[/tex3] só pode ser congruente a [tex3]1[/tex3] ou [tex3]3[/tex3] módulo [tex3]8[/tex3] . Portanto, nesse caso não temos soluções.
1) Se [tex3]n=1[/tex3] , devemos ter [tex3]\dfrac{3^m + 3}{3}[/tex3] inteiro, o que é sempre verdade.
2) Se [tex3]n=2[/tex3] , devemos ter [tex3]\dfrac{3^m + 3}{6} = \dfrac{3^{m-1} + 1}{2}[/tex3] inteiro, o que é sempre verdade.
3) Se [tex3]n=3[/tex3] , devemos ter [tex3]\dfrac{3^m + 3}{12} = \dfrac{3^{m-1} + 1}{4}[/tex3] .
Logo, olhando módulo [tex3]4[/tex3] , devemos ter:
[tex3]3^{m-1} \equiv -1 \pmod 4 \iff (-1)^{m-1} \equiv -1 \pmod 4[/tex3]
Logo, devemos ter [tex3]m[/tex3] par.
4) Agora suponha que [tex3]n>3[/tex3] , então [tex3]8|2^n + 2^{n-1} \Rightarrow 8|3^m + 3[/tex3] . Olhando módulo [tex3]8[/tex3] , devemos ter
[tex3]3^m \equiv -3 \pmod 8[/tex3]
Porém, note que uma potência de [tex3]3[/tex3] só pode ser congruente a [tex3]1[/tex3] ou [tex3]3[/tex3] módulo [tex3]8[/tex3] . Portanto, nesse caso não temos soluções.
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PrincesaAli 
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