Olimpíadas ⇒ (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional
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18:09
(OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional
O conjunto das raízes da equação [tex3]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2[/tex3]
a) {1} b) {1,2} c) [1,2] d) (1,2) e) {2}
é:a) {1} b) {1,2} c) [1,2] d) (1,2) e) {2}
Última edição: caju (Qua 07 Fev, 2018 18:21). Total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título.
Razão: Arrumar Título.
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18:23
Re: (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional
[tex3]x -2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}-1)^2 = (1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]
[tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]
letra c
[tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]
letra c
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07
18:31
Re: OBM - NVL3 - 2004
Fazendo a substituição [tex3]y=\sqrt{x-1}[/tex3]
[tex3]\sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 - 2y} = 2[/tex3]
[tex3]\sqrt{(y+1)^2} + \sqrt{(y-1)^2} = 2[/tex3]
[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]
Podemos fazer a passagem acima pois [tex3]y\ge0[/tex3] .
Se [tex3]y\ge1[/tex3] , obtemos [tex3]y=1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Para [tex3]0\le y <1[/tex3] , a equação é verdadeira. Dessa forma, [tex3]x[/tex3] é solução se [tex3]1\le x<2[/tex3]
Portanto, o conjunto das soluções da equação é [tex3][1,2][/tex3]
Resposta: Alternativa C
, temos [tex3]x = y^2+1[/tex3]
. Reescrevendo a equação:[tex3]\sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 - 2y} = 2[/tex3]
[tex3]\sqrt{(y+1)^2} + \sqrt{(y-1)^2} = 2[/tex3]
[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]
Podemos fazer a passagem acima pois [tex3]y\ge0[/tex3] .
Se [tex3]y\ge1[/tex3] , obtemos [tex3]y=1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Para [tex3]0\le y <1[/tex3] , a equação é verdadeira. Dessa forma, [tex3]x[/tex3] é solução se [tex3]1\le x<2[/tex3]
Portanto, o conjunto das soluções da equação é [tex3][1,2][/tex3]
Resposta: Alternativa C
Fev 2018
07
20:10
Re: (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional
sousóeu, eu entendi que [tex3]x -2\sqrt{x-1} [/tex3]
é o resultado do desenvolvimento de [tex3](1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]
, analogamente, para [tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]
, mas não compreendi oq isso acarreta em [tex3]x \in\[1,2\][/tex3]
. Grata por esclarecimentos.
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Fev 2018
07
20:19
Re: (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional
foi o que o usuário acima detalhou: das condições de existência [tex3]x \geq 1[/tex3]
e como se [tex3]1 \leq x \leq 2[/tex3] então [tex3]\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 1 - \sqrt{x-1}[/tex3] que dá a resposta, x fora desse intervalo dá [tex3]\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} -1[/tex3] e ai fazendo as contas não chegamos nunca em 2
e como se [tex3]1 \leq x \leq 2[/tex3] então [tex3]\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 1 - \sqrt{x-1}[/tex3] que dá a resposta, x fora desse intervalo dá [tex3]\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} -1[/tex3] e ai fazendo as contas não chegamos nunca em 2
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- Última visita: 31-12-69
Jun 2018
12
21:11
Re: (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional
[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]
Por que não fez módulo no y+1? Eu também não entendi direito esse intervalo, alguém pode me explicar detalhadamente? Muito obrigado.
Por que não fez módulo no y+1? Eu também não entendi direito esse intervalo, alguém pode me explicar detalhadamente? Muito obrigado.
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