Olimpíadas ⇒ (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional

[GehSillva7]

O conjunto das raízes da equação [tex3]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2[/tex3]

é:

a) {1} b) {1,2} c) [1,2] d) (1,2) e) {2}

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]x -2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}-1)^2 = (1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]

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[tex3]x -2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}-1)^2 = (1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]

[tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]

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[tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]

letra c

[alexander4102]

Fazendo a substituição [tex3]y=\sqrt{x-1}[/tex3]

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[tex3]y=\sqrt{x-1}[/tex3]

, temos [tex3]x = y^2+1[/tex3]

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[tex3]x = y^2+1[/tex3]

. Reescrevendo a equação:
[tex3]\sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 - 2y} = 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 - 2y} = 2[/tex3]

[tex3]\sqrt{(y+1)^2} + \sqrt{(y-1)^2} = 2[/tex3]

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[tex3]\sqrt{(y+1)^2} + \sqrt{(y-1)^2} = 2[/tex3]

[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]

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[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]

Podemos fazer a passagem acima pois [tex3]y\ge0[/tex3]

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[tex3]y\ge0[/tex3]

.
Se [tex3]y\ge1[/tex3]

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[tex3]y\ge1[/tex3]

, obtemos [tex3]y=1[/tex3]

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[tex3]y=1[/tex3]

e [tex3]x=2[/tex3]

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[tex3]x=2[/tex3]

Para [tex3]0\le y <1[/tex3]

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[tex3]0\le y <1[/tex3]

, a equação é verdadeira. Dessa forma, [tex3]x[/tex3]

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[tex3]x[/tex3]

é solução se [tex3]1\le x<2[/tex3]

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[tex3]1\le x<2[/tex3]

Portanto, o conjunto das soluções da equação é [tex3][1,2][/tex3]

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[tex3][1,2][/tex3]

Resposta: Alternativa C

[Babi123]

sousóeu, eu entendi que [tex3]x -2\sqrt{x-1} [/tex3]

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[tex3]x -2\sqrt{x-1} [/tex3]

é o resultado do desenvolvimento de [tex3](1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]

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[tex3](1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]

, analogamente, para [tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]

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[tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]

, mas não compreendi oq isso acarreta em [tex3]x \in\[1,2\][/tex3]

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[tex3]x \in\[1,2\][/tex3]

. Grata por esclarecimentos.

[Auto Excluído (ID:12031)]

foi o que o usuário acima detalhou: das condições de existência [tex3]x \geq 1[/tex3]

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[tex3]x \geq 1[/tex3]

e como se [tex3]1 \leq x \leq 2[/tex3]

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[tex3]1 \leq x \leq 2[/tex3]

então [tex3]\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 1 - \sqrt{x-1}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 1 - \sqrt{x-1}[/tex3]

que dá a resposta, x fora desse intervalo dá [tex3]\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} -1[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} -1[/tex3]

e ai fazendo as contas não chegamos nunca em 2

[Auto Excluído (ID:21063)]

[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]

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[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]

Por que não fez módulo no y+1? Eu também não entendi direito esse intervalo, alguém pode me explicar detalhadamente? Muito obrigado.