Olimpíadas ⇒ Mandelbrot (Números Complexos) Tópico resolvido

[Hanon]

Se [tex3]w^{1997}=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w^{1997}=1[/tex3]

e [tex3]w\neq1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]w\neq1[/tex3]

, então determine o valor de
[tex3]\frac{1}{1+w}+\frac{1}{1+w^2}+ \ ... \ +\frac{1}{1+w^{1997}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1+w}+\frac{1}{1+w^2}+ \ ... \ +\frac{1}{1+w^{1997}}[/tex3]

Obs: Não tenho gabarito.

[Ittalo25]

[tex3]\frac{1}{1+w^k}+ \frac{1}{1+w^{1997-k}} = \frac{1}{1+w^k}+ \frac{1}{1+\frac{1}{w^k}} = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1+w^k}+ \frac{1}{1+w^{1997-k}} = \frac{1}{1+w^k}+ \frac{1}{1+\frac{1}{w^k}} = 1[/tex3]

Então somando os extremos:

[tex3]\begin{cases}
1 \rightarrow 1996 \\
2 \rightarrow 1995 \\
3\rightarrow 1994 \\
... \\
998\rightarrow 999
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
1 \rightarrow 1996 \\
2 \rightarrow 1995 \\
3\rightarrow 1994 \\
... \\
998\rightarrow 999
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{1+w}+\frac{1}{1+w^2}+ \ ... \ +\frac{1}{1+w^{1997}} = 998+\frac{1}{1+w^{1997}} = \boxed{998+\frac{1}{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{1+w}+\frac{1}{1+w^2}+ \ ... \ +\frac{1}{1+w^{1997}} = 998+\frac{1}{1+w^{1997}} = \boxed{998+\frac{1}{2}}[/tex3]