Olimpíadas ⇒ (Croácia) Números Complexos Tópico resolvido

[Hanon]

Calcule: [tex3]\(1+\cos \frac{ \pi}{7}+i\sen \frac{6\pi}{7}\)^{14}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\(1+\cos \frac{ \pi}{7}+i\sen \frac{6\pi}{7}\)^{14}[/tex3]

Resposta: [tex3]-2^{14}\(\cos \frac{\pi}{14}\)^{14}[/tex3]

[baltuilhe]

Calcule: [tex3]\(1+\cos \frac{ \pi}{7}+i\sen \frac{6\pi}{7}\)^{14}[/tex3]

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[tex3]\(1+\cos \frac{ \pi}{7}+i\sen \frac{6\pi}{7}\)^{14}[/tex3]

Resposta: [tex3]-2^{14}\(\cos \frac{\pi}{14}\)^{14}[/tex3]

Bom dia!

Os ângulos [tex3]\dfrac{\pi}{7}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{\pi}{7}[/tex3]

e [tex3]\dfrac{6\pi}{7}[/tex3]

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[tex3]\dfrac{6\pi}{7}[/tex3]

são suplementares (somam [tex3]180^{\circ}[/tex3]

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[tex3]180^{\circ}[/tex3]

).
Então, podemos substituir o seno do ângulo pelo suplemento, já que dois ângulos suplementares tem o mesmo seno (1º e 2º quadrantes).
E podemos também calcular o módulo e o argumento do número complexo.
Então:
[tex3]\sen \frac{ 6\pi }{ 7 } = \sen \frac{ \pi }{ 7 }[/tex3]

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[tex3]\sen \frac{ 6\pi }{ 7 } = \sen \frac{ \pi }{ 7 }[/tex3]

Daí:
[tex3]z = 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } + i \sen \frac{ \pi }{ 7 }\\
z = |z| \cdot \( \cos \varphi + i \sen \varphi \)\\
|z| = \sqrt{ \(1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } \)^2+\(\sen \frac{ \pi }{ 7 } \)^2 }\\
|z| = \sqrt{ 1 + 2 \cos \frac{ \pi }{ 7 } + \overbrace{ \cos ^ 2 \frac{ \pi }{ 7 } + \sen ^ 2 \frac{ \pi }{ 7 } } ^ { 1 } }\\
\boxed{ |z| = \sqrt{ 2 \cdot \( 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } \) } }\\
\tan \varphi = \frac{ \sen \frac{ \pi }{ 7 } }{ 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } }[/tex3]

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[tex3]z = 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } + i \sen \frac{ \pi }{ 7 }\\
z = |z| \cdot \( \cos \varphi + i \sen \varphi \)\\
|z| = \sqrt{ \(1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } \)^2+\(\sen \frac{ \pi }{ 7 } \)^2 }\\
|z| = \sqrt{ 1 + 2 \cos \frac{ \pi }{ 7 } + \overbrace{ \cos ^ 2 \frac{ \pi }{ 7 } + \sen ^ 2 \frac{ \pi }{ 7 } } ^ { 1 } }\\
\boxed{ |z| = \sqrt{ 2 \cdot \( 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } \) } }\\
\tan \varphi = \frac{ \sen \frac{ \pi }{ 7 } }{ 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } }[/tex3]

Acima vale a relação:
[tex3]\tan \varphi = \frac { \sen 2\varphi }{ 1 + \cos 2\varphi }[/tex3]

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[tex3]\tan \varphi = \frac { \sen 2\varphi }{ 1 + \cos 2\varphi }[/tex3]

Então:
[tex3]\varphi = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ \pi }{ 7 }\\
\boxed{ \varphi = \frac{ \pi }{ 14 } }\\
[/tex3]

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[tex3]\varphi = \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ \pi }{ 7 }\\
\boxed{ \varphi = \frac{ \pi }{ 14 } }\\
[/tex3]

Existe uma forma de se transformar soma de cossenos em produto, assim:
[tex3]\cos m + \cos n = 2 \cos \frac{ m + n }{ 2 } \cos \frac{ m - n }{ 2 }[/tex3]

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[tex3]\cos m + \cos n = 2 \cos \frac{ m + n }{ 2 } \cos \frac{ m - n }{ 2 }[/tex3]

Assim:
[tex3]1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } = \cos 0 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } = 2 \cos^2 \frac{ \pi }{ 14 }[/tex3]

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[tex3]1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } = \cos 0 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } = 2 \cos^2 \frac{ \pi }{ 14 }[/tex3]

Bom, agora podemos tentar calcular o que se pede:
[tex3]z = 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } + i \sen \frac{ \pi }{ 7 }\\
z = |z| \cdot \( \cos \varphi + i \sen \varphi \)\\
z = \sqrt{ 2 \cdot \( 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } \) } \cdot \( \cos \frac{ \pi }{ 14 } + i \sen \frac{ \pi }{ 14 } \)\\
z ^ { 14 } = \[ \sqrt{ 2 \cdot 2 \cos^2 \frac{ \pi }{ 14 } } \cdot \( \cos \frac{ \pi }{ 14 } + i \sen \frac{ \pi }{ 14 } \) \] ^ { 14 }\\
z ^ { 14 } = \[ 2^7 \cdot \( 2 \cos^2 \frac{ \pi }{ 14 } \) ^ 7 \] \cdot \[ \cos \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) + i \sen \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) \]\\
z ^ { 14 } = \[ 2^{14} \cdot \cos^{14} \frac{ \pi }{ 14 } \] \cdot \[ \underbrace{ \cos \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) } _ { -1 } + i \cdot \underbrace{ \sen \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) } _ { 0 } \]\\
z ^ { 14 } = \[ 2^{14} \cdot \cos^{14} \frac{ \pi }{ 14 } \] \cdot (-1)\\
\boxed{ z ^ { 14 } = -2^{ 14 } \cdot \cos^{ 14 } \frac{ \pi }{ 14 } }
[/tex3]

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[tex3]z = 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } + i \sen \frac{ \pi }{ 7 }\\
z = |z| \cdot \( \cos \varphi + i \sen \varphi \)\\
z = \sqrt{ 2 \cdot \( 1 + \cos \frac{ \pi }{ 7 } \) } \cdot \( \cos \frac{ \pi }{ 14 } + i \sen \frac{ \pi }{ 14 } \)\\
z ^ { 14 } = \[ \sqrt{ 2 \cdot 2 \cos^2 \frac{ \pi }{ 14 } } \cdot \( \cos \frac{ \pi }{ 14 } + i \sen \frac{ \pi }{ 14 } \) \] ^ { 14 }\\
z ^ { 14 } = \[ 2^7 \cdot \( 2 \cos^2 \frac{ \pi }{ 14 } \) ^ 7 \] \cdot \[ \cos \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) + i \sen \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) \]\\
z ^ { 14 } = \[ 2^{14} \cdot \cos^{14} \frac{ \pi }{ 14 } \] \cdot \[ \underbrace{ \cos \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) } _ { -1 } + i \cdot \underbrace{ \sen \( 14 \cdot \frac{ \pi }{ 14 } \) } _ { 0 } \]\\
z ^ { 14 } = \[ 2^{14} \cdot \cos^{14} \frac{ \pi }{ 14 } \] \cdot (-1)\\
\boxed{ z ^ { 14 } = -2^{ 14 } \cdot \cos^{ 14 } \frac{ \pi }{ 14 } }
[/tex3]

Edit: Editado para deixar mais claro a passagem do arco-metade para tangente.

[Hanon]

Grato baltuilhe pela ajuda

[Ittalo25]

Bom dia
não entendi por que [tex3]\varphi = \frac{\pi}{14}[/tex3]

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[tex3]\varphi = \frac{\pi}{14}[/tex3]

[baltuilhe]

Bom dia
não entendi por que [tex3]\varphi = \frac{\pi}{14}[/tex3]

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[tex3]\varphi = \frac{\pi}{14}[/tex3]

Boa tarde!

Demonstração:
[tex3]\cos 2x = \cos^2 x - \sen^2 x[/tex3]

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[tex3]\cos 2x = \cos^2 x - \sen^2 x[/tex3]

Para obtermos o seno:
[tex3]\cos 2x = 1 - \sen^2 x - \sen^2 x\\
\cos 2x = 1 - 2\sen^2 x\\
\sen x = \sqrt{ \dfrac{ 1 - \cos 2x }{ 2 } }\\
[/tex3]

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[tex3]\cos 2x = 1 - \sen^2 x - \sen^2 x\\
\cos 2x = 1 - 2\sen^2 x\\
\sen x = \sqrt{ \dfrac{ 1 - \cos 2x }{ 2 } }\\
[/tex3]

Agora, cosseno:
[tex3]\cos 2x = \cos^2 x - \(1 - \cos^2 x \)\\
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\\
\cos x = \sqrt{ \dfrac{ 1 + \cos 2x }{ 2 } }[/tex3]

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[tex3]\cos 2x = \cos^2 x - \(1 - \cos^2 x \)\\
\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\\
\cos x = \sqrt{ \dfrac{ 1 + \cos 2x }{ 2 } }[/tex3]

Essas são as fórmulas para arco-metade:
[tex3]\sen \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \dfrac{ 1 - \cos x }{ 2 } }\\
\cos \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \dfrac{ 1 + \cos x }{ 2 } }[/tex3]

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[tex3]\sen \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \dfrac{ 1 - \cos x }{ 2 } }\\
\cos \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \dfrac{ 1 + \cos x }{ 2 } }[/tex3]

Agora, tangente:
[tex3]\tan \frac{ x }{ 2 } = \frac{ \sen \frac{ x }{ 2 } }{ \cos \frac{ x }{ 2 } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \frac{ \sqrt{ \frac{ 1 - \cos x }{ 2 } } }{ \sqrt{ \frac{ 1 + \cos x }{ 2 } } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { 1 - \cos x }{1 + \cos x } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { 1 - \cos x }{1 + \cos x } \cdot \frac { 1 + \cos x }{1 + \cos x } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { 1 - \cos^2 x }{ \( 1 + \cos x \)^2 } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { \sen^2 x }{ \( 1 + \cos x \)^2 } }\\
\boxed{ \tan \frac{ x }{ 2 } = \frac { \sen x }{ 1 + \cos x } }[/tex3]

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[tex3]\tan \frac{ x }{ 2 } = \frac{ \sen \frac{ x }{ 2 } }{ \cos \frac{ x }{ 2 } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \frac{ \sqrt{ \frac{ 1 - \cos x }{ 2 } } }{ \sqrt{ \frac{ 1 + \cos x }{ 2 } } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { 1 - \cos x }{1 + \cos x } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { 1 - \cos x }{1 + \cos x } \cdot \frac { 1 + \cos x }{1 + \cos x } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { 1 - \cos^2 x }{ \( 1 + \cos x \)^2 } }\\
\tan \frac{ x }{ 2 } = \sqrt{ \frac { \sen^2 x }{ \( 1 + \cos x \)^2 } }\\
\boxed{ \tan \frac{ x }{ 2 } = \frac { \sen x }{ 1 + \cos x } }[/tex3]

Espero ter deixado BEEEM claro

Sds

[LucasPinafi]

Solução mais imediata:
Inicialmente, note que
[tex3]1+ \cos \theta + i \sen \theta = 1+ (2 \cos^2 \frac \theta 2 -1) + 2 i \sen \frac \theta 2 \cos \frac \theta 2 = 2 \cos \frac \theta 2 \left(\cos \frac \theta 2 + i \sen \frac \theta 2 \right)\\ \omega = \left( 1 + \cos \frac {\pi} 7 + \sen \frac{\pi } 7 \right)^{!4} = \left( 2 \cos \frac{\pi }{14} \left\{ \cos \frac {\pi } {14} + i \sen \frac \pi {14} \right\}\right)^{14} = 2^{14} \cos^{14} \frac {\pi } {14} \left\{ \cis \left( \frac{\pi}{14}\right)\right\}^{14} \\ \omega = 2^{14} \cos^{14} \frac \pi {14} \cis (\pi )= - 2^{14} \cos^{14} \frac {\pi }{14}[/tex3]

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[tex3]1+ \cos \theta + i \sen \theta = 1+ (2 \cos^2 \frac \theta 2 -1) + 2 i \sen \frac \theta 2 \cos \frac \theta 2 = 2 \cos \frac \theta 2 \left(\cos \frac \theta 2 + i \sen \frac \theta 2 \right)\\ \omega = \left( 1 + \cos \frac {\pi} 7 + \sen \frac{\pi } 7 \right)^{!4} = \left( 2 \cos \frac{\pi }{14} \left\{ \cos \frac {\pi } {14} + i \sen \frac \pi {14} \right\}\right)^{14} = 2^{14} \cos^{14} \frac {\pi } {14} \left\{ \cis \left( \frac{\pi}{14}\right)\right\}^{14} \\ \omega = 2^{14} \cos^{14} \frac \pi {14} \cis (\pi )= - 2^{14} \cos^{14} \frac {\pi }{14}[/tex3]