Obs: Esse problema está na parte destinada a Indução. Se possível faça via Indução Finita.
Grata
Olimpíadas ⇒ Indução Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Fev 2018
05
16:09
Indução
A sequência [tex3]a_1, \ a_2, \ ... \ ,a_n, \ ...[/tex3]
de números é tal que [tex3]a_1=3, \ a_2=5, \ \ \ e \ \ \ a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}[/tex3]
, para [tex3]n>2[/tex3]
. Prove que [tex3]a_n=2^n+1, \ \ \forall \ n \in \mathbb{N}[/tex3]
.
Obs: Esse problema está na parte destinada a Indução. Se possível faça via Indução Finita.
Grata
Obs: Esse problema está na parte destinada a Indução. Se possível faça via Indução Finita.
Grata
Fev 2018
05
21:56
Re: Indução
supondo que [tex3]a_n=2^n+1[/tex3]
então
[tex3]a_1=2.1+1=3[/tex3]
[tex3]a_2=2.2+1=5[/tex3]
portanto a relação é válida ara os dois primeiros termos da sequência
agora temos que demonstrar que ela é válida para os demais termos da sequência
[tex3]a_n=2^n+1[/tex3]
[tex3]a_{n-1}=2^{n-1}+1[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=3(2^n+1)-2(2^{n-1}+1)[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=3.2^n+3-2^{n}-2[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=2.2^n+1[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=2^{n+1}+1[/tex3]
portanto a relação é válida para os demais termos da sequência
então
[tex3]a_1=2.1+1=3[/tex3]
[tex3]a_2=2.2+1=5[/tex3]
portanto a relação é válida ara os dois primeiros termos da sequência
agora temos que demonstrar que ela é válida para os demais termos da sequência
[tex3]a_n=2^n+1[/tex3]
[tex3]a_{n-1}=2^{n-1}+1[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=3a_n-2a_{n-1}[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=3(2^n+1)-2(2^{n-1}+1)[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=3.2^n+3-2^{n}-2[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=2.2^n+1[/tex3]
[tex3]a_{n+1}=2^{n+1}+1[/tex3]
portanto a relação é válida para os demais termos da sequência
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