Olimpíadas ⇒ (Romênia TST) Recorrência Tópico resolvido

[Babi123]

(Romênia TST) Considere a sequência [tex3](a_n)_{n\geq0}[/tex3]

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[tex3](a_n)_{n\geq0}[/tex3]

, definida por [tex3]a_0=a_1=1[/tex3]

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[tex3]a_0=a_1=1[/tex3]

e [tex3]a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}[/tex3]

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[tex3]a_{n+1}=14a_n-a_{n-1}[/tex3]

, [tex3]n\geq1[/tex3]

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[tex3]n\geq1[/tex3]

. Prove que para todo [tex3]n\geq0, \ 2a_n-1[/tex3]

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[tex3]n\geq0, \ 2a_n-1[/tex3]

é um quadrado perfeito.

[Ittalo25]

O polinômio característico da recorrência é [tex3]x^2=14x-1 [/tex3]

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[tex3]x^2=14x-1 [/tex3]

, ou seja:

[tex3]a_n = x\cdot (7+4\sqrt{3})^n+y\cdot (7-4\sqrt{3})^n [/tex3]

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[tex3]a_n = x\cdot (7+4\sqrt{3})^n+y\cdot (7-4\sqrt{3})^n [/tex3]

De onde:

[tex3]\begin{cases}
x\cdot (7+4\sqrt{3})^0+y\cdot (7-4\sqrt{3})^0=1 \\
x\cdot (7+4\sqrt{3})^1+y\cdot (7-4\sqrt{3})^1=1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x\cdot (7+4\sqrt{3})^0+y\cdot (7-4\sqrt{3})^0=1 \\
x\cdot (7+4\sqrt{3})^1+y\cdot (7-4\sqrt{3})^1=1
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
x=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \\
y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x=\frac{2-\sqrt{3}}{4} \\
y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}
\end{cases}[/tex3]

Então:

[tex3]a_n = \(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\)\cdot (7+4\sqrt{3})^n+\(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)\cdot (7-4\sqrt{3})^n [/tex3]

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[tex3]a_n = \(\frac{2-\sqrt{3}}{4}\)\cdot (7+4\sqrt{3})^n+\(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\)\cdot (7-4\sqrt{3})^n [/tex3]

[tex3]2a_n-1 = \(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)\cdot (7+4\sqrt{3})^n+\(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)\cdot (7-4\sqrt{3})^n-1 [/tex3]

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[tex3]2a_n-1 = \(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\)\cdot (7+4\sqrt{3})^n+\(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)\cdot (7-4\sqrt{3})^n-1 [/tex3]

[tex3]2a_n-1 = \frac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (7-4\sqrt{3})^n}+\frac{(7-4\sqrt{3})^n}{2\cdot (2-\sqrt{3})}{}-1 [/tex3]

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[tex3]2a_n-1 = \frac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (7-4\sqrt{3})^n}+\frac{(7-4\sqrt{3})^n}{2\cdot (2-\sqrt{3})}{}-1 [/tex3]

[tex3]2a_n-1 = \(\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (7-4\sqrt{3})^n}}-\sqrt{\frac{(7-4\sqrt{3})^n}{2\cdot (2-\sqrt{3})}{}}\)^2 [/tex3]

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[tex3]2a_n-1 = \(\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2\cdot (7-4\sqrt{3})^n}}-\sqrt{\frac{(7-4\sqrt{3})^n}{2\cdot (2-\sqrt{3})}{}}\)^2 [/tex3]