OlimpíadasEquações Polinomiais

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Diego996
Pleno
Mensagens: 61
Registrado em: Qua 13 Jun, 2007 16:34
Última visita: 22-01-08
Out 2007 01 18:34

Equações Polinomiais

Mensagem não lida por Diego996 »

rean escreveu:Resolva a equação:
  • [tex3]x^2 + \frac{\sqrt {5}}{\sqrt{2}+ \sqrt {3}} = x[/tex3]
Não consegui fatorar o resultado.
  • [tex3]x^2 + \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} = x[/tex3]
Calculando o discrimante da equação resultante da acima, veremos que ele é negativo, logo a equação admite raízes complexas.

Seja [tex3]x = a + bi[/tex3] a solução, então:
  • [tex3](a + bi)^2 + \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = a + bi \\
    a^2 + 2abi - b^2 + \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} = a + bi \\
    (a^2 - a - b^2 ) + (2ab - b)i = - \frac{{\sqrt 5 }}{\sqrt 3 + \sqrt 2 }[/tex3]
Logo, devemos ter:
  • [tex3]a^2 - a - b^2 = - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} \\
    2ab - b = 0 \Rightarrow b(2a - 1) = 0[/tex3]
Entretanto, para a solução ser complexa, temos que ter [tex3]b[/tex3] diferente de [tex3]0.[/tex3]

Então:
  • [tex3]2a - 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}[/tex3]
Logo, substituindo o valor de [tex3]a:[/tex3]
  • [tex3]\left( {\frac{1}{2}} \right)^2 - \frac{1}{2} - b^2 = - \frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} \Rightarrow b = \pm \sqrt {\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} - \frac{1}{4}}[/tex3]
Logo, as soluções são:
  • [tex3]x_1 = a + bi = \frac{1}{2} + i\cdot {\sqrt {\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} - \frac{1}{4}} }[/tex3] e [tex3]x_2 = a + bi = \frac{1}{2} - i\cdot {\sqrt {\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }} - \frac{1}{4}} }[/tex3]
Falou.

Última edição: MateusQqMD (Ter 11 Ago, 2020 12:06). Total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3



Avatar do usuário
AnthonyC
4 - Sabe Tudo
Mensagens: 964
Registrado em: Sex 09 Fev, 2018 19:43
Última visita: 21-02-24
Ago 2020 02 00:56

Re: Equações Polinomiais

Mensagem não lida por AnthonyC »

Já solucionado pelo autor da questão.



[tex3]\color{YellowOrange}\textbf{Não importa o quanto se esforce ou evolua, você sempre estará abaixo do Sol}[/tex3]
[tex3]\textbf{Escanor}[/tex3]

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Olimpíadas”