OlimpíadasOBMEP - Banco de questões 2017 - Primo ou composto? Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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GehSillva7
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OBMEP - Banco de questões 2017 - Primo ou composto?

Mensagem não lida por GehSillva7 »

Determine se o número abaixo é um número primo ou um número composto:
Anexos
catsqr.jpg
catsqr.jpg (3.11 KiB) Exibido 1434 vezes




Auto Excluído (ID:17906)
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Jan 2018 25 14:50

Re: OBMEP - Banco de questões 2017 - Primo ou composto?

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) »

Para quantidade de uns prima:
1 uns: 121 = 11.11
3 uns: 1112111 = 11.101101
5 uns: 11111211111 = 11.1010110101
Seguindo o mesmo padrão...
Para quantidade de uns par:
2 uns: 11211 = 101.111
4 uns: 111121111 = 10001.11111
6 uns: 1111112111111 = 1000001.1111111
Seguindo o mesmo padrão...
Então podemos concluir por indução que o número da questão é composto.




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rodBR
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Jan 2018 25 16:00

Re: OBMEP - Banco de questões 2017 - Primo ou composto?

Mensagem não lida por rodBR »

Olá, boa tarde.

[tex3]\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}2\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}[/tex3] . Para verificar se o número é composto ou primo, façamos:
[tex3]\left( \frac{10^{2017}-1}{9}+1 \right)+\left(\frac{10^{2016}-1}{9}\right)\cdot 10^{-2018}[/tex3]
[tex3]\frac{10^{2017}+8}{9}+\frac{10^{-2}-10^{-2018}}{9}[/tex3]
[tex3]\frac{10^{2017}+8+10^{-2}-10^{-2018}}{9}[/tex3]

Portanto,
[tex3]\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}2\underbrace{111\ldots1}_{\text{2016 algarismos 1}}=\boxed{ \frac{10^{2017}+8+10^{-2}-10^{-2018}}{9}}\rightarrow é \ um \ número \ divisível \ por \ 9. Logo, \ não \ é \ primo.[/tex3]




Ps: Para escrever um número com vários 1, fazemos: [tex3]\frac{10^n-1}{9}[/tex3] , [tex3]\forall \ n \in \mathbb{N^*}[/tex3] . Nesse problema temos que colocar, inicialmente, 2016 números 1
, depois acrescentar o número 2 e finalmente o restante (2016 números 1)
Para colocar 2016 números 1 e o2 em seguida, fiz [tex3]\left( \frac{10^{2017}-1}{9}+1 \right)[/tex3] e os 2016 1 após o 2 a maneira de colocar foi somando [tex3]\left(\frac{10^{2016}-1}{9}\right)\cdot 10^{-2018}[/tex3] .




att>>rodBR

Última edição: rodBR (Qui 25 Jan, 2018 16:15). Total de 3 vezes.


"Uma vida sem questionamentos não merece ser vivida".

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