Olimpíadas ⇒ OBMEP - Banco de questões 2017 - Combinatória Tópico resolvido

[GehSillva7]

João escreveu todas as potências de 2, 3 e 5 maiores que 1 e menores que 2017 em uma folha de papel. Em seguida, ele realizou todos os produtos possíveis de dois números distintos dessa folha e os escreveu em outra folha de papel. Qual a quantidade de inteiros que João registou na segunda folha?

[Optmistic]

Potências de x = {x¹ , x² , x³ ...}

Começando com o 2

{2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128 , 256 , 512 , 1024 } = 10 números

com o 3 ...

{3 , 9 , 27 , 81 , 243 , 729 } = 6 números

com o 5 ...

{5 , 25 , 125 , 625} = 4 números

Note que todos estes números são distintos ...

Então basta fazer a combinação de todos tomados 2 a 2

C 10+6+4 , 2

C 10+10 , 2

C 20 , 2

20!/2!.(20-2)!

20.19.18!/2.1.18!

20.19/2

10 . 19 = 190 possíveis produtos.

[GehSillva7]

No gabarito consta que são 155 números inteiros

[lorramrj]

Na verdade tem que fazer as combinações de bases distintas:

C = 10.6 + 10.4 + 4.6 = 124 combinações.

E agora somar as combinações de mesma potência (retirando o números repetidos)