Olimpíadas

Mensagem não lidapor **Flavio2020** » 18 Jan 2018, 17:08 · Mensagem não lida por **Flavio2020** » 18 Jan 2018, 17:08

Seja [tex3]P(x)[/tex3] um polinômio de grau 2 tal que [tex3]P(0)=\cos^{3}10°[/tex3] , [tex3]P(1)=\cos10°\cdot \sen^210°[/tex3] e [tex3]P(2)=0[/tex3] . Então o valor de [tex3]2\sqrt{3}\cdot p(3)[/tex3] é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Mensagem não lidapor **alevini98** » 18 Jan 2018, 18:02 · Mensagem não lida por **alevini98** » 18 Jan 2018, 18:02

[tex3]ax^2+bx+c=0\\\begin{cases}a\cdot0^2+b\cdot0+c=\cos^310^°\\a+b=\cos10^°\sen^210^°\\4a+2b=0\end{cases}\\a=-\cos10^°\sen^210^°\\b=2\cos10^°\sen^210^°\\c=\cos^310^°[/tex3]

[tex3](9a+3b+c)2\sqrt3\\(-9\cos10^°\sen^210^°+6\cos10^°\sen^210^°+\cos^310^°)2\sqrt3\\(\cos^310^°-3\cos10^°\sen^210^°)2\sqrt3
\\
\cos10^°(\cos^210^°-3\sen^210^°)2\sqrt3
\\
\sqrt{1-\sen^210^°}(1-4\sen^210^°)2\sqrt3[/tex3]

Se lembrarmos que [tex3]\sen\theta\approx\theta[/tex3] para um valor de [tex3]\theta[/tex3] de até 20°, então poderemos substituir o [tex3]\sen^210^°[/tex3] na equação pelo seu valor em radianos. Calculando a mão 10° é aproximadamente 0,175 radianos. Dessa forma

[tex3]\sqrt{1-0,175^2}(1-4\cdot0,175^2)2\sqrt3\\\sqrt{1-0,030625}(1-4\cdot0,030625)2\sqrt3\\\sqrt{0,969375}\cdot0,8775\cdot2\sqrt3[/tex3]

Caso as alternativas estivessem mais próximas umas das outras eu iria aproximar o valor da raiz pelo método de Newton-Raphson. Porém, já que os valores distam em inteiros, então é seguro aproximar para 1.

[tex3]1\cdot0,8775\cdot2\sqrt3\\1,755\sqrt3[/tex3]

Dá para perceber que [tex3]1,755[/tex3] se aproxima bastante de [tex3]\sqrt3[/tex3] , então faremos outra aproximação

[tex3]1,755\sqrt3\approx\boxed{3}[/tex3]

Fiz todas essas aproximações pois achei seguro, já que iriam mudar mais mesmo na casa dos centesimais.

Caso alguém saiba de um caminho melhor/mais fácil, favor postar aqui.

Na verdade não sei se essa resposta está certa, pois não consigo conferir o resultado.

Mensagem não lidapor **Ittalo25** » 18 Jan 2018, 18:35 · Mensagem não lida por **Ittalo25** » 18 Jan 2018, 18:35

Seja [tex3]P(x) =ax^2+bx+c [/tex3]

Pela informações dadas:

[tex3]\begin{cases}
c=cos^3(10) \\
a+b+cos^3(10)=cos(10) - cos^3(10) \\
4a+2b+cos^3(10)=0
\end{cases}[/tex3]

Ou seja:

[tex3]\begin{cases}
a=\frac{3cos^3(10)-2cos(10)}{2} \\
b=\frac{4cos(10)-7cos^3(10)}{2}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]2\sqrt{3}\cdot p(3) = \sqrt{3} \cdot (18a+6b+2cos^3(10))[/tex3]

[tex3]\sqrt{3} \cdot (9\cdot (3cos^3(10)-2cos(10) )+3\cdot (4cos(10)-7cos^3(10))+2cos^3(10))[/tex3]

[tex3]2\sqrt{3} \cdot (4cos^3(10)-3cos(10) )[/tex3]

[tex3]2\sqrt{3} \cdot cos(30)[/tex3]

[tex3]2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed {3}[/tex3]

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