Olimpíadas(Cone Sul - Chile 1992) Teoria dos Números Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Jan 2018 11 23:20

(Cone Sul - Chile 1992) Teoria dos Números

Mensagem não lida por Hanon » Qui 11 Jan, 2018 23:20

(Cone Sul - Chile 1992) Prove que não existem [tex3]a, \ b,\ c\in \mathbb{Z}^+[/tex3] que satisfazem a igualdade:
[tex3]a^2+b^2=3c^2[/tex3]




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Lonel
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Jan 2018 11 23:34

Re: (Cone Sul - Chile 1992) Teoria dos Números

Mensagem não lida por Lonel » Qui 11 Jan, 2018 23:34

[tex3]a^2+b^2\equiv0 \text{ (mod 3})[/tex3]

Para que isso ocorra [tex3]a,b\equiv0\text{ (mod 3})[/tex3] , caso a,b forem congruente a 1 ou -1, teremos que [tex3]a^2+b^2\equiv1 \text{ ou} -1 \text{ (mod 3})[/tex3]

Podemos reescrever a questão como [tex3]a=3k[/tex3] e [tex3]b=3z[/tex3] :

[tex3]9k^2+9z^2=3c^2\Rightarrow3(k^2+z^2)=c^2[/tex3]

Logo c precisará ser multiplo de 3, faça c=3u

[tex3]k^2+z^2=3u^2[/tex3]

Note agora que k e z precisarão ser múltiplos de 3, depois u precisará, e isso continuará infinitamente. Logo não existe solução nos inteiros positivos para [tex3]a^2+b^2=3c^2[/tex3]




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