(Cone Sul - Peru, 2012) Encontre o maior inteiro positivo [tex3]n[/tex3]
Se [tex3]p[/tex3]
é um divisor primo de [tex3]n[/tex3]
, então [tex3]p^2-1[/tex3]
é um divisor de [tex3]n[/tex3]
.
OBS: Não tenho gabarito
, menor que 2012, que cumpra a seguinte propriedade:Olimpíadas ⇒ (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade Tópico resolvido
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Jan 2018
11
16:11
(Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade
Última edição: Hanon (Qui 11 Jan, 2018 16:12). Total de 1 vez.
Jan 2018
11
21:22
Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade
p=3: [tex3]3\cdot 8[/tex3]
[tex3]24\cdot3^4=1944\Rightarrow \boxed{1920<1944}[/tex3]
(ok)[tex3]24\cdot3^4=1944\Rightarrow \boxed{1920<1944}[/tex3]
Jan 2018
11
22:00
Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade
Como [tex3]mdc(p, p^2-1) = 1 [/tex3]
então [tex3](p-1) \cdot p \cdot (p+1) | n [/tex3]
Num produto de 3 números consecutivos, algum é múltiplo de 3, e n também é múltiplo de [tex3]3^2 -
1 = 8[/tex3]
Ou seja, n é múltiplo de 24.
pegando os múltiplos de 24 menores que 2012:
[tex3]1992 = 2^3 \cdot 3 \cdot 83 [/tex3] não serve porque o 83 é muito grande.
[tex3]1968 = 2^4 \cdot 3 \cdot 41 [/tex3] também não serve
[tex3]\boxed {n=1944}= 2^3 \cdot 3^5 [/tex3] esse serve e é a resposta
então [tex3](p-1) \cdot p \cdot (p+1) | n [/tex3]
Num produto de 3 números consecutivos, algum é múltiplo de 3, e n também é múltiplo de [tex3]3^2 -
1 = 8[/tex3]
Ou seja, n é múltiplo de 24.
pegando os múltiplos de 24 menores que 2012:
[tex3]1992 = 2^3 \cdot 3 \cdot 83 [/tex3] não serve porque o 83 é muito grande.
[tex3]1968 = 2^4 \cdot 3 \cdot 41 [/tex3] também não serve
[tex3]\boxed {n=1944}= 2^3 \cdot 3^5 [/tex3] esse serve e é a resposta
Última edição: Ittalo25 (Qui 11 Jan, 2018 22:03). Total de 3 vezes.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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