Olimpíadas(Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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(Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Hanon » Qui 11 Jan, 2018 16:11

(Cone Sul - Peru, 2012) Encontre o maior inteiro positivo [tex3]n[/tex3] , menor que 2012, que cumpra a seguinte propriedade:
Se [tex3]p[/tex3] é um divisor primo de [tex3]n[/tex3] , então [tex3]p^2-1[/tex3] é um divisor de [tex3]n[/tex3] .


OBS: Não tenho gabarito

Editado pela última vez por Hanon em Qui 11 Jan, 2018 16:12, em um total de 1 vez.



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Ittalo25
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Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Ittalo25 » Qui 11 Jan, 2018 20:53

Como [tex3]p \cdot (p^2-1) < 2012 [/tex3] então [tex3]p \leq 11[/tex3]

[tex3]p \in \{2,3,5,7,11\}[/tex3] e [tex3]p^2-1 \in \{3,8,24,48,120\}[/tex3]

Se p=11 dá certo porque : [tex3]1320 = 11 \cdot 120 = 11 \cdot 2^3 \cdot 3 \cdot 5 [/tex3]

o 11 tem o 120, o 2 tem o 3, o 3 tem o 8 e o 5 tem o 24.

Se p=7: [tex3]336 = 7 \cdot 48 = 7 \cdot 2^4 \cdot 3 [/tex3]

Dá pra multioplicar por 5, já que é múltiplo de 24: [tex3]1680 = 5\cdot 7 \cdot 2^4 \cdot 3 [/tex3]

Se p=5: [tex3]120 = 5 \cdot 24 = 5 \cdot 2^3 \cdot 3 [/tex3]

Dá pra multiplicar por 16: [tex3]1920 = 5 \cdot 2^7 \cdot 3 [/tex3]

Testei aqui com p=2 e p=3, mas o maior resultado que encontrei foi [tex3]\boxed {n=1920} [/tex3]

Consegue achar algum maior?



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Lonel
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Jan 2018 11 21:22

Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Lonel » Qui 11 Jan, 2018 21:22

p=3: [tex3]3\cdot 8[/tex3] (ok)

[tex3]24\cdot3^4=1944\Rightarrow \boxed{1920<1944}[/tex3] :P



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Ittalo25
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Jan 2018 11 22:00

Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Ittalo25 » Qui 11 Jan, 2018 22:00

Como [tex3]mdc(p, p^2-1) = 1 [/tex3]

então [tex3](p-1) \cdot p \cdot (p+1) | n [/tex3]

Num produto de 3 números consecutivos, algum é múltiplo de 3, e n também é múltiplo de [tex3]3^2 -
1 = 8[/tex3]

Ou seja, n é múltiplo de 24.

pegando os múltiplos de 24 menores que 2012:

[tex3]1992 = 2^3 \cdot 3 \cdot 83 [/tex3] não serve porque o 83 é muito grande.

[tex3]1968 = 2^4 \cdot 3 \cdot 41 [/tex3] também não serve

[tex3]\boxed {n=1944}= 2^3 \cdot 3^5 [/tex3] esse serve e é a resposta

Editado pela última vez por Ittalo25 em Qui 11 Jan, 2018 22:03, em um total de 3 vezes.


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