Olimpíadas(Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Hanon
1 - Trainee
Mensagens: 420
Registrado em: Sáb 13 Mai, 2017 00:28
Última visita: 31-07-20
Localização: São Luis - Ma
Jan 2018 11 16:11

(Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Hanon »

(Cone Sul - Peru, 2012) Encontre o maior inteiro positivo [tex3]n[/tex3] , menor que 2012, que cumpra a seguinte propriedade:
Se [tex3]p[/tex3] é um divisor primo de [tex3]n[/tex3] , então [tex3]p^2-1[/tex3] é um divisor de [tex3]n[/tex3] .


OBS: Não tenho gabarito

Última edição: Hanon (Qui 11 Jan, 2018 16:12). Total de 1 vez.



Avatar do usuário
Lonel
2 - Nerd
Mensagens: 105
Registrado em: Sex 09 Jun, 2017 10:02
Última visita: 06-12-18
Jan 2018 11 21:22

Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Lonel »

p=3: [tex3]3\cdot 8[/tex3] (ok)

[tex3]24\cdot3^4=1944\Rightarrow \boxed{1920<1944}[/tex3] :P




Avatar do usuário
Ittalo25
5 - Mestre
Mensagens: 1914
Registrado em: Seg 18 Nov, 2013 22:11
Última visita: 05-08-20
Jan 2018 11 22:00

Re: (Cone Sul - Peru, 2012) Divisibilidade

Mensagem não lida por Ittalo25 »

Como [tex3]mdc(p, p^2-1) = 1 [/tex3]

então [tex3](p-1) \cdot p \cdot (p+1) | n [/tex3]

Num produto de 3 números consecutivos, algum é múltiplo de 3, e n também é múltiplo de [tex3]3^2 -
1 = 8[/tex3]

Ou seja, n é múltiplo de 24.

pegando os múltiplos de 24 menores que 2012:

[tex3]1992 = 2^3 \cdot 3 \cdot 83 [/tex3] não serve porque o 83 é muito grande.

[tex3]1968 = 2^4 \cdot 3 \cdot 41 [/tex3] também não serve

[tex3]\boxed {n=1944}= 2^3 \cdot 3^5 [/tex3] esse serve e é a resposta

Última edição: Ittalo25 (Qui 11 Jan, 2018 22:03). Total de 3 vezes.


Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]

Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg

Voltar para “Olimpíadas”