Olimpíadas ⇒ (EUA/97) Sistema

[Flavio2020]

Os números reais [tex3]\alpha [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha [/tex3]

e [tex3]\theta [/tex3]

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[tex3]\theta [/tex3]

são tais que: [tex3]\alpha ^{3}-3\alpha^2+5\alpha -17=0[/tex3]

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[tex3]\alpha ^{3}-3\alpha^2+5\alpha -17=0[/tex3]

e [tex3]\theta ^{3}-3\theta ^2+5\theta +11=0[/tex3]

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[tex3]\theta ^{3}-3\theta ^2+5\theta +11=0[/tex3]

. Calcule [tex3]\alpha +\theta [/tex3]

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[tex3]\alpha +\theta [/tex3]

.

Resposta

---

R:2

[Ittalo25]

[tex3]\begin{cases}
x^3-3x^2+5x-17=0 \\
y^3-3y^2+5y+11=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x^3-3x^2+5x-17=0 \\
y^3-3y^2+5y+11=0
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
(x-1)^3 +2\cdot (x-1) -14=0 \\
(y-1)^3 +2\cdot (y-1) +14=0
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
(x-1)^3 +2\cdot (x-1) -14=0 \\
(y-1)^3 +2\cdot (y-1) +14=0
\end{cases}[/tex3]

Somando as duas:

[tex3](x-1)^3+(y-1)^3 + 2\cdot (x-1+y-1) = 0 [/tex3]

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[tex3](x-1)^3+(y-1)^3 + 2\cdot (x-1+y-1) = 0 [/tex3]

[tex3](x-1+y-1) \cdot ((x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)\cdot (y-1))+ 2\cdot (x-1+y-1) = 0 [/tex3]

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[tex3](x-1+y-1) \cdot ((x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)\cdot (y-1))+ 2\cdot (x-1+y-1) = 0 [/tex3]

[tex3](x+y-2) \cdot ((x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)\cdot (y-1)+2)= 0 [/tex3]

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[tex3](x+y-2) \cdot ((x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)\cdot (y-1)+2)= 0 [/tex3]

[tex3]x+y = 2 [/tex3]

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[tex3]x+y = 2 [/tex3]

ou então:

[tex3](x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)\cdot (y-1)+2= 0 [/tex3]

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[tex3](x-1)^2+(y-1)^2-(x-1)\cdot (y-1)+2= 0 [/tex3]

[tex3]x^2+x\cdot (-y-1) +y^2-y+3= 0 [/tex3]

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[tex3]x^2+x\cdot (-y-1) +y^2-y+3= 0 [/tex3]

[tex3]\Delta = (-y-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2-y+3) = - 3y^2+6y-11 = -(y\sqrt{3}-\sqrt{3})^2-8 < 0[/tex3]

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[tex3]\Delta = (-y-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2-y+3) = - 3y^2+6y-11 = -(y\sqrt{3}-\sqrt{3})^2-8 < 0[/tex3]

Portanto [tex3]\boxed {x+y = 2} [/tex3]

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[tex3]\boxed {x+y = 2} [/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

mesma ideia:
viewtopic.php?f=20&t=44471&p=118381#p118381

[tex3](\alpha-1)^3 + 2(\alpha -1) = \alpha^3 - 3\alpha^2+5\alpha-3 = f(\alpha-1)[/tex3]

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[tex3](\alpha-1)^3 + 2(\alpha -1) = \alpha^3 - 3\alpha^2+5\alpha-3 = f(\alpha-1)[/tex3]

seja [tex3]f(x) = x^3 + 2x[/tex3]

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[tex3]f(x) = x^3 + 2x[/tex3]

então [tex3]f(\alpha -1) = 14 = - (-14) = -f(\theta-1)[/tex3]

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[tex3]f(\alpha -1) = 14 = - (-14) = -f(\theta-1)[/tex3]

[tex3]\alpha -1 = 1 - \theta[/tex3]

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[tex3]\alpha -1 = 1 - \theta[/tex3]