Olimpíadas(USA 1977) Polinômios Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Jan 2018 02 23:03

(USA 1977) Polinômios

Mensagem não lida por Hanon » Ter 02 Jan, 2018 23:03

(USA 1977) Mostre que o produto das duas raízes reais da equação [tex3]x^4+x^3-1=0[/tex3] é uma raiz da equação [tex3]x^6+x^4+x^3-x^2-1=0[/tex3] .




Auto Excluído (ID:17906)
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Jan 2018 03 17:33

Re: (USA 1977) Polinômios

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Qua 03 Jan, 2018 17:33

Esse tipo de questão é extremamente semelhante com o anterior que você havia postado.
Aplicando as Relações das Raízes de Vieta para polinômios desse tipo adotando para isso as raízes [tex3]x,y,z,w[/tex3] , temos:
[tex3]x+y+z+w=-1[/tex3] (1)
[tex3]xy+xz+xw+yz+yw+zw=0[/tex3] (2)
[tex3]yzw+xzw+xyw+xyz=0[/tex3] (3)
[tex3]xyzw=-1[/tex3] (4)
Devemos então colocar todas as raízes em função de uma soma ou de um produto de algumas de suas raízes a fim de que se torne mais reduzida. Vamos estão, deixar a equação somente tendo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] de incógnitas
Voltando a dizer, de forma bem semelhante com a questão anterior.
Pela primeira equação temos:
[tex3]zw=\frac{-1}{xy}[/tex3]
Pela quarta equação temos:
[tex3]c+d=-(1+a+b)[/tex3]
Tentando substituir na segunda equação temos:
[tex3]xy+xz+xw+yz+yw+zw=0[/tex3]
[tex3]xy+zw+(x+y)+(z+w)=0[/tex3]
[tex3]xy-\frac{1}{xy}+(x+y)[-(x+y)-1]=0[/tex3]
Substituindo [tex3]xy[/tex3] por [tex3]k[/tex3] e [tex3]x+y[/tex3] por [tex3]v[/tex3] , temos:
[tex3]k^2-kv(v+1)=1[/tex3]
Realizando mais substituições entre a segunda e a terceira equação, temos:
[tex3]v=-\frac{k^{2}}{k^{2}+1}[/tex3]
Substituindo teremos:
[tex3]k-\frac{1}{k}\left(\frac{k^{2}}{k^{2}+1}-1\right)=0[/tex3]
[tex3]\frac{k^{6}+k^{4}+k^{3}-k^{2}-1}{k(k^{2}+1)^{2}}=0[/tex3] .
Note que o numerador da equação é semelhante a equação [tex3]x^6+x^4+x^3-x^2-1=0[/tex3] .
Questão que eu me referia: viewtopic.php?p=162236#p162236

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