Olimpíadas(Canada 1988) Equações polinomiais Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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(Canada 1988) Equações polinomiais

Mensagem não lida por Hanon » Ter 02 Jan, 2018 13:47

(Canada 1988) Para algum inteiro [tex3]a[/tex3] , as equações [tex3]1988x^2+ax+8891 = 0[/tex3] e [tex3]8891x^2+ax+1988 = 0[/tex3] compartilham uma raiz comum. Encontre o valor de [tex3]a[/tex3] .



OBS: Não tenho gabarito!

Editado pela última vez por Hanon em Ter 02 Jan, 2018 14:02, em um total de 1 vez.



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drfritz
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Jan 2018 02 19:12

Re: (Canada 1988) Equações polinomiais

Mensagem não lida por drfritz » Ter 02 Jan, 2018 19:12

Oi, boa noite
Observe que nas duas equações a soma do coeficiente de [tex3]x^{2}[/tex3] e do termo independente são iguais, logo podemos utilizar o seguinte resultado - quando soma dos coeficientes de uma equação polinomial for igual a zero, o número 1 é raiz, assim podemos escrever [tex3]1988+a+8891=0\rightarrow a=-10879[/tex3] , observe que para esse valor de [tex3]a[/tex3] as equações têm uma raiz comum que é o número [tex3]1[/tex3] , [tex3]a\in Z[/tex3] . Espero ter ajudado.




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Re: (Canada 1988) Equações polinomiais

Mensagem não lida por Hanon » Ter 02 Jan, 2018 22:41

drfritz, Muito obrigado. Não conhecia este fato:
drfritz escreveu:
Ter 02 Jan, 2018 19:12
quando soma dos coeficientes de uma equação polinomial for igual a zero, o número 1 é raiz
. Apenas sei que se quisermos encontrar a soma dos coeficientes de um polinômio [tex3]p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}[/tex3] , basta fazer[tex3]x=1[/tex3] e teremos a soma dos coeficientes. :D



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Re: (Canada 1988) Equações polinomiais

Mensagem não lida por Catador » Qua 03 Jan, 2018 01:01

Hanon, tudo beleza?
Eu vou tentar resolver usando um fato mais básico, no caso dizer que as duas equações possuem raízes em comum é equivalente a dizer que essa solução seria a intersecção de um sistema entre as duas equações:
[tex3]\begin{cases}
1988x^2+ax+8891 = 0(I)\\
8891x^2+ax+1988 = 0 (II)
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando I por -1 e somando membro a membro teremos:
[tex3]6903x^{2}-6903=0[/tex3]
[tex3]x^{2}=1[/tex3]
[tex3]x=\pm 1[/tex3]

Substituindo [tex3]x=\pm 1[/tex3] em qualquer uma das duas equações chegamos a conclusão que [tex3]a=\pm 10879[/tex3]

Editado pela última vez por Catador em Qua 03 Jan, 2018 01:11, em um total de 4 vezes.



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