Olimpíadas(USA 1984) Equação Polinomial Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Hanon
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Jan 2018 01 00:23

(USA 1984) Equação Polinomial

Mensagem não lida por Hanon » Seg 01 Jan, 2018 00:23

O produto de dois dos quatro zeros da equação quártica [tex3]x^{4}-18x^{3}+kx^2+200x-1984=0[/tex3] , é [tex3]-32[/tex3] . Encontre o valor de [tex3]k[/tex3] .



Obs: Não tenho gabarito.

Última edição: Hanon (Seg 01 Jan, 2018 00:33). Total de 1 vez.



Auto Excluído (ID:17906)
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Re: (USA 1984) Equação Polinomial

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:17906) » Seg 01 Jan, 2018 10:01

Bom dia meu amigo.
Para resolver essa questão você precisará saber das "Relações das Equações de Vieta". Sabendo disso, o problema continua difícil, mas facilita bastante.
Link onde eu descobri essa relação: https://youtu.be/_sk29hnNlr8
Relação das Raízes de Vieta para polinômios desse tipo:
[tex3]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0[/tex3]
Sendo [tex3]x,y,z,w[/tex3] as suas raízes, temos:
[tex3]x+y+z+w=-\frac{b}{a}[/tex3] (1)
[tex3]xy+xz+xw+yz+yw+zw=\frac{c}{a}[/tex3] (2)
[tex3]yzw+xzw+xyw+xyz=-\frac{d}{a}[/tex3] (3)
[tex3]xyzw=\frac{e}{a}[/tex3] (4)
Substituindo os dados do polinômio, temos:
[tex3]x+y+z+w=18[/tex3] (1)
[tex3]xy+xz+xw+yz+yw+zw=k[/tex3] (2)
[tex3]yzw+xzw+xyw+xyz=-200[/tex3] (3)
[tex3]xyzw=-1984[/tex3] (4)
Depois disso, é "só" resolver esse sisteminha.
Sabemos que o produto de duas de suas raízes é [tex3]-32[/tex3] , irmos falar então que [tex3]xy=-32[/tex3]
Substituindo na quarta equação teremos:
[tex3]zw=62[/tex3]
Seria então interessante descobrirmos a soma das raízes, ou ao menos a soma de seus pares.
Pela divisão da terceira com a quarta equação, teremos:
[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{200}{1984}[/tex3]
[tex3]\frac{x+y}{xy}+\frac{z+w}{zw}=\frac{200}{1984}[/tex3]
[tex3]\frac{x+y}{-32}+\frac{z+w}{62}=\frac{200}{1984}[/tex3]
Pela primeira equação, temos:
[tex3]z+w=18-(x+y)[/tex3]
Substituindo na equação anterior temos:
[tex3]x+y=4[/tex3] , temos então que [tex3]z+w=14[/tex3]
Substituindo na segunda equação temos:
[tex3](x+y)(z+w)+xy+zw=k[/tex3]
[tex3]4.14-32+62=k[/tex3]
[tex3]84=k[/tex3]

Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Seg 01 Jan, 2018 12:09). Total de 2 vezes.



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Re: (USA 1984) Equação Polinomial

Mensagem não lida por Hanon » Seg 01 Jan, 2018 12:05

Muito bom, valeu GuiBernardo!




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