Bom dia meu amigo.
Para resolver essa questão você precisará saber das "Relações das Equações de Vieta". Sabendo disso, o problema continua difícil, mas facilita bastante.
Link onde eu descobri essa relação:
https://youtu.be/_sk29hnNlr8
Relação das Raízes de Vieta para polinômios desse tipo:
[tex3]ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0[/tex3]
Sendo [tex3]x,y,z,w[/tex3]
as suas raízes, temos:
[tex3]x+y+z+w=-\frac{b}{a}[/tex3]
(1)
[tex3]xy+xz+xw+yz+yw+zw=\frac{c}{a}[/tex3]
(2)
[tex3]yzw+xzw+xyw+xyz=-\frac{d}{a}[/tex3]
(3)
[tex3]xyzw=\frac{e}{a}[/tex3]
(4)
Substituindo os dados do polinômio, temos:
[tex3]x+y+z+w=18[/tex3]
(1)
[tex3]xy+xz+xw+yz+yw+zw=k[/tex3]
(2)
[tex3]yzw+xzw+xyw+xyz=-200[/tex3]
(3)
[tex3]xyzw=-1984[/tex3]
(4)
Depois disso, é "só" resolver esse sisteminha.
Sabemos que o produto de duas de suas raízes é [tex3]-32[/tex3]
, irmos falar então que [tex3]xy=-32[/tex3]
Substituindo na quarta equação teremos:
[tex3]zw=62[/tex3]
Seria então interessante descobrirmos a soma das raízes, ou ao menos a soma de seus pares.
Pela divisão da terceira com a quarta equação, teremos:
[tex3]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{w}=\frac{200}{1984}[/tex3]
[tex3]\frac{x+y}{xy}+\frac{z+w}{zw}=\frac{200}{1984}[/tex3]
[tex3]\frac{x+y}{-32}+\frac{z+w}{62}=\frac{200}{1984}[/tex3]
Pela primeira equação, temos:
[tex3]z+w=18-(x+y)[/tex3]
Substituindo na equação anterior temos:
[tex3]x+y=4[/tex3]
, temos então que [tex3]z+w=14[/tex3]
Substituindo na segunda equação temos:
[tex3](x+y)(z+w)+xy+zw=k[/tex3]
[tex3]4.14-32+62=k[/tex3]
[tex3]84=k[/tex3]