Olimpíadas ⇒ (Putnam 1939) Polinômios Tópico resolvido

[Hanon]

(Putnam 1939) Se [tex3]\alpha ,\beta, \gamma [/tex3]

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[tex3]\alpha ,\beta, \gamma [/tex3]

são as raízes de [tex3]x^{2}+ax^{2}+bx+c=0[/tex3]

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[tex3]x^{2}+ax^{2}+bx+c=0[/tex3]

. Encontre o polinômio com raízes [tex3]\alpha ^{3},\beta ^{3},\gamma ^3[/tex3]

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[tex3]\alpha ^{3},\beta ^{3},\gamma ^3[/tex3]

.

[Ittalo25]

Fazendo a transformada: [tex3]y = x^3 [/tex3]

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[tex3]y = x^3 [/tex3]

[tex3]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/tex3]

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[tex3]x^{3}+ax^{2}+bx+c=0[/tex3]

[tex3]y+a\sqrt[3]{y^2}+b\sqrt[3]{y}+c=0[/tex3]

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[tex3]y+a\sqrt[3]{y^2}+b\sqrt[3]{y}+c=0[/tex3]

[tex3]y+c=-a\sqrt[3]{y^2}-b\sqrt[3]{y}[/tex3]

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[tex3]y+c=-a\sqrt[3]{y^2}-b\sqrt[3]{y}[/tex3]

[tex3]y^3+c^3+3y^2c+3c^2y =-y^2a^3-yb^3 +3aby \cdot ( -a\sqrt[3]{y^2}-b\sqrt[3]{y})[/tex3]

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[tex3]y^3+c^3+3y^2c+3c^2y =-y^2a^3-yb^3 +3aby \cdot ( -a\sqrt[3]{y^2}-b\sqrt[3]{y})[/tex3]

[tex3]y^3+c^3+3y^2c+3c^2y =-y^2a^3-yb^3 +3aby \cdot (y+c)[/tex3]

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[tex3]y^3+c^3+3y^2c+3c^2y =-y^2a^3-yb^3 +3aby \cdot (y+c)[/tex3]

[tex3]y^3+y^2\cdot (3c+a^3-3ab)+y\cdot (3c^2+b^3-3abc)+ c^3 =0[/tex3]

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[tex3]y^3+y^2\cdot (3c+a^3-3ab)+y\cdot (3c^2+b^3-3abc)+ c^3 =0[/tex3]

[Ittalo25]

Outra forma de resolver:


[tex3]\begin{cases}
\alpha \beta \gamma=-c \\
\alpha \gamma + \alpha \beta + \gamma \beta=b \\
\alpha + \gamma + \beta=-a
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\alpha \beta \gamma=-c \\
\alpha \gamma + \alpha \beta + \gamma \beta=b \\
\alpha + \gamma + \beta=-a
\end{cases}[/tex3]

Pela soma de Newton:

[tex3]1\cdot (\alpha^3+\gamma^3+\beta^3) + a\cdot (\alpha^2+\gamma^2+\beta^2) + b \cdot (\alpha + \gamma + \beta)+c\cdot (\alpha^0 + \gamma^0 + \beta^0) = 0[/tex3]

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[tex3]1\cdot (\alpha^3+\gamma^3+\beta^3) + a\cdot (\alpha^2+\gamma^2+\beta^2) + b \cdot (\alpha + \gamma + \beta)+c\cdot (\alpha^0 + \gamma^0 + \beta^0) = 0[/tex3]

[tex3](\alpha^3+\gamma^3+\beta^3) + a\cdot (a^2 - 2b) + b \cdot (-a)+3c = 0[/tex3]

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[tex3](\alpha^3+\gamma^3+\beta^3) + a\cdot (a^2 - 2b) + b \cdot (-a)+3c = 0[/tex3]

[tex3]\boxed {\alpha^3+\gamma^3+\beta^3 = 3ab - a^3-3c}[/tex3]

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[tex3]\boxed {\alpha^3+\gamma^3+\beta^3 = 3ab - a^3-3c}[/tex3]

[tex3]\boxed {\alpha^3 \beta^3 \gamma^3=-c^3}[/tex3]

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[tex3]\boxed {\alpha^3 \beta^3 \gamma^3=-c^3}[/tex3]

Agora só falta: [tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 [/tex3]

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[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 [/tex3]

Pela equivalência de Gauss:

[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 - 3\alpha^2 \beta^2 \gamma^2=(\alpha \gamma + \alpha \beta + \gamma \beta) \cdot (\alpha^2 \gamma^2 + \alpha^2 \beta^2 + \gamma^2 \beta^2 - \alpha^2 \beta \gamma -\alpha \beta^2 \gamma-\alpha \beta \gamma^2)[/tex3]

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[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 - 3\alpha^2 \beta^2 \gamma^2=(\alpha \gamma + \alpha \beta + \gamma \beta) \cdot (\alpha^2 \gamma^2 + \alpha^2 \beta^2 + \gamma^2 \beta^2 - \alpha^2 \beta \gamma -\alpha \beta^2 \gamma-\alpha \beta \gamma^2)[/tex3]

[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 - 3c^2=(b) \cdot ((\alpha \gamma + \alpha \beta + \gamma \beta)^2-2\alpha \beta \gamma\cdot (\gamma +\alpha + \beta) +c \cdot ( \gamma +\alpha + \beta))[/tex3]

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[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 - 3c^2=(b) \cdot ((\alpha \gamma + \alpha \beta + \gamma \beta)^2-2\alpha \beta \gamma\cdot (\gamma +\alpha + \beta) +c \cdot ( \gamma +\alpha + \beta))[/tex3]

[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 - 3c^2=(b) \cdot (b^2+2c \cdot (-a) +c \cdot ( -a))[/tex3]

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[tex3]\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 - 3c^2=(b) \cdot (b^2+2c \cdot (-a) +c \cdot ( -a))[/tex3]

[tex3]\boxed {\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 =3c^2+ b^3-3bc}[/tex3]

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[tex3]\boxed {\alpha^3 \gamma^3 + \alpha^3 \beta^3+ \gamma ^3\beta^3 =3c^2+ b^3-3bc}[/tex3]