Olimpíadas ⇒ Sucessão Tópico resolvido

[Hanon]

Considere a sucessão: [tex3]a_{n}=\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a_{n}=\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}[/tex3]

, [tex3](n\geq 1)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](n\geq 1)[/tex3]

. Demonstrar que: [tex3]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ ... \ +\frac{1}{a_{20}}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ ... \ +\frac{1}{a_{20}}[/tex3]

é um inteiro.

[Ittalo25]

[tex3]\frac{1}{a_n} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}} = \frac{n\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}-n\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}}{4} = \frac{\sqrt{2n^2+2n+1 }-\sqrt{2n^2-2n+1}}{4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{a_n} = \frac{1}{\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}+\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}} = \frac{n\sqrt{1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}}-n\sqrt{1+\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2}}}{4} = \frac{\sqrt{2n^2+2n+1 }-\sqrt{2n^2-2n+1}}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ ... \ +\frac{1}{a_{20}} = \frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{13}-\sqrt{5}+5-\sqrt{13}+\sqrt{41}-5+...+29-\sqrt{761}}{4}=\frac{29-1}{4} = \boxed {7}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ ... \ +\frac{1}{a_{20}} = \frac{\sqrt{5}-1+\sqrt{13}-\sqrt{5}+5-\sqrt{13}+\sqrt{41}-5+...+29-\sqrt{761}}{4}=\frac{29-1}{4} = \boxed {7}[/tex3]