OlimpíadasCírculos - Inglaterra 2000

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

Moderador: [ Moderadores TTB ]

Avatar do usuário
Autor do Tópico
Atsocs
iniciante
Mensagens: 2
Registrado em: Ter 28 Mar, 2017 22:56
Última visita: 06-01-18
Agradeceram: 1
Dez 2017 28 12:28

Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por Atsocs » Qui 28 Dez, 2017 12:28

Duas circunferências secantes [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] possuem uma tangente comum que tangencia [tex3]C_1[/tex3] em [tex3]P[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] em [tex3]Q[/tex3] . As duas circunferências intersectam-se em [tex3]M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] , onde [tex3]N[/tex3] é mais próximo de [tex3]PQ[/tex3] do que [tex3]M[/tex3] . A reta [tex3]PN[/tex3] encontra a circunferência [tex3]C_2[/tex3] novamente em [tex3]R[/tex3] . Prove que [tex3]MQ[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]\angle{PMR}[/tex3] .




Avatar do usuário
sousóeu
5 - Mestre
Mensagens: 1298
Registrado em: Sex 23 Mai, 2014 02:30
Última visita: 15-11-18
Agradeceu: 563
Agradeceram: 977
Dez 2017 28 23:18

Re: Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por sousóeu » Qui 28 Dez, 2017 23:18

seja [tex3]X[/tex3] o encontro de [tex3]PM[/tex3] com [tex3]C2[/tex3] distinto de [tex3]M[/tex3] . Triângulos [tex3]PQX[/tex3] e [tex3]MQR [/tex3] são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3] é inscritível e [tex3]X[/tex3] é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3] no quadrilátero em questão.
inglaterra (1).png
inglaterra (1).png (64.65 KiB) Exibido 213 vezes
EDIT: ESTA PARTE ESTÁ ERRADA
[tex3]\angle XQP = \angle QXR[/tex3] (semi-inscritos)

os ângulos acima não são semi-inscritos, eu cometi um engano apesar de os ângulos descritos nesta linha de fato serem iguais. Conseguindo provar que eles são iguais ou seja QX=QR, o problema se resolve:

[tex3] \angle QXR = \angle QMR[/tex3] (ângulos inscritos)
repare agora que [tex3]\angle MRQ = \angle MQP[/tex3] (semi-inscritos) logo triângulo PQM é semelhante a PQX e portanto [tex3]\angle PMQ =
\angle QMR[/tex3]

Editado pela última vez por sousóeu em Sex 29 Dez, 2017 00:34, em um total de 6 vezes.



Avatar do usuário
Autor do Tópico
Atsocs
iniciante
Mensagens: 2
Registrado em: Ter 28 Mar, 2017 22:56
Última visita: 06-01-18
Agradeceram: 1
Dez 2017 29 13:29

Re: Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por Atsocs » Sex 29 Dez, 2017 13:29

sousóeu escreveu:
Qui 28 Dez, 2017 23:18
seja [tex3]X[/tex3] o encontro de [tex3]PM[/tex3] com [tex3]C2[/tex3] distinto de [tex3]M[/tex3] . Triângulos [tex3]PQX[/tex3] e [tex3]MQR [/tex3] são semelhantes. Pois [tex3]\angle PXQ = \angle QRM[/tex3] já que o quadrilátero [tex3]QXMR[/tex3] é inscritível e [tex3]X[/tex3] é o vértice oposto ao [tex3]R[/tex3] no quadrilátero em questão.
Por que conclues que os triangulos são semelhantes com apenas um angulo congruente?



Avatar do usuário
sousóeu
5 - Mestre
Mensagens: 1298
Registrado em: Sex 23 Mai, 2014 02:30
Última visita: 15-11-18
Agradeceu: 563
Agradeceram: 977
Jan 2018 02 20:57

Re: Círculos - Inglaterra 2000

Mensagem não lida por sousóeu » Ter 02 Jan, 2018 20:57

[tex3]\angle PMQ = \angle PMN + \angle NMQ = \angle NPQ + \angle NQP = 180 - \angle PNQ = \angle QNR = \angle RMQ[/tex3]

Editado pela última vez por sousóeu em Ter 02 Jan, 2018 20:58, em um total de 1 vez.



Responder
  • Tópicos Semelhantes
    Respostas
    Exibições
    Última msg
  • Nova mensagem (Olimpíada da Inglaterra) Somatório Triplo
    por Auto Excluído (ID:17906) » Sex 16 Jun, 2017 19:19 » em Olimpíadas
    1 Respostas
    474 Exibições
    Última msg por jedi
    Sex 16 Jun, 2017 21:50
  • Nova mensagem (UESB) Círculos Tangentes
    por gueucr » Qui 15 Dez, 2016 13:52 » em Pré-Vestibular
    1 Respostas
    1156 Exibições
    Última msg por Marcos
    Qui 15 Dez, 2016 20:20
  • Nova mensagem (Colégio Naval) Geometria Plana - Círculos
    por Snowden » Qua 21 Jun, 2017 14:57 » em IME / ITA
    2 Respostas
    590 Exibições
    Última msg por Snowden
    Qua 21 Jun, 2017 19:51
  • Nova mensagem (Farias Brito - prof MM) Círculos
    por Gu178 » Qui 27 Jul, 2017 11:54 » em IME / ITA
    5 Respostas
    428 Exibições
    Última msg por Gu178
    Qui 27 Jul, 2017 18:30
  • Nova mensagem Raio de Círculos inscritos
    por Nilsonmenezes » Qua 09 Ago, 2017 23:28 » em Ensino Médio
    2 Respostas
    1352 Exibições
    Última msg por Nilsonmenezes
    Sex 11 Ago, 2017 21:03

Voltar para “Olimpíadas”