OlimpíadasCubo e divisores Tópico resolvido

Aqui devem ser postados problemas Olímpicos. Informe a olimpíada e o ano no título do tópico. Exemplo: (OBM - 2008).

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Dez 2017 23 12:17

Cubo e divisores

Mensagem não lida por Miliotta » Sáb 23 Dez, 2017 12:17

Determinar o número de divisores de
[tex3]a[/tex3] , sabiendo que seu cubo tem [tex3]13[/tex3] vezes mais divisores de [tex3]a[/tex3] .




Superaks
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Dez 2017 23 20:27

Re: Cubo e divisores

Mensagem não lida por Superaks » Sáb 23 Dez, 2017 20:27

Vou considerar os divisores positivos.


Como a > 1, podemos escrevelo como o produto de números primos

a = p1^(a1) . p2^(a2) * ... * pn^(an)

a³ = p1^(3a1) . p2^(3a2) * ... * pn^(3an)

A quantidade de divisores positivos de a pode ser calculado da seguinte forma:

(a1 + 1)(a2 + 1) * .... * (an + 1)

Já a quantidade de divisores de a³ é:

(3a1 + 1)(3a2 + 1) * ... * (3an + 1)

Temos que:

(3a1 + 1)(3a2 + 1) * ... * (3an + 1)/[(a1 + 1)(a2 + 1) * ... * (an + 1)] = 13

O menor valor possível para a1, a2, ..., an é 1. Portanto, temos que:

(3 . 1 + 1)(3 . 1 + 1) * ... * (3 . 1 + 1)/[(3 + 1)(3 + 1) * ... * (3 + 1)] < 13

2^n < 13 < 16

2^n < 2^4

n < 4

Então n deve ser no máximo 3.

Temos também que existe um i, 1 <= i <= n tal que

13 | 3ai + 1

Logo,

ai = 13k + 4

Note que k não pode ser maior que 0, pois caso contrário, aquele quociente seria bem maior que 13, logo k = 0.

(3 . 4 + 1)(3a2 + 1)(3a3 + 1)/[(4 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1)]

13/5 . (3a2 + 1)(3a3 + 1)/[(a2 + 1)(a3 + 1)]

A ideia agora é eliminar aquele 5, e o menor valor possível para a2 por exemplo para que 5 | 3a2 + 1, é a2 = 3.O próximo valor seria a2 = 8, mas o produto ficaria grande de mais. Portanto, a2 = 3.

13/5 . 10/4 . (3a3 + 1)/(a3 + 1)

13/2 . (3a3 + 1)/(a3 + 1)

Aqui verificamos que a única opção para a3 é a3 = 1.

13/2 . 4/2 = 13

Não tem a hipótese de n ser 2 ou 1 com essa verificação feita acima. Pois foi necessário exatamente de 3 produtos para eliminarmos os denominadores. Com menos produtos não seria possível.

Logo, a quantidade de divisores de a é:

(4 + 1)(3 + 1)(1 + 1)

5 . 4 . 2 = 40 divisores positivos.

Então temos 80 divisores contando os negativos

Editado pela última vez por Superaks em Dom 24 Dez, 2017 18:54, em um total de 5 vezes.



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Re: Cubo e divisores

Mensagem não lida por Miliotta » Dom 24 Dez, 2017 20:25

Obrigada Superaks.
:)




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