Determinar todos os pares de números primos [tex3](p,q)[/tex3]
tais que
[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]
Olimpíadas ⇒ Primos e diferença de cubos Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2017
18
15:09
Re: Primos e diferença de cubos
p³+1 = q³(p+1)
p²-p + 1 = q³
p(p-1) = (q-1)(q²+q+1)
se p divide q-1 então p-1 divide q²+q+1
q= kp+1, como q>0 kp >-1 logo k>0
q² +q + 1 = k²p²+2kp + 1 + kp+1+1 = 3 + 3kp + k²p² = 3 + 3k(p-1) + 3k + k²(p²-1) + k²
logo p-1 divide 3 + 3k + k² = 3 + k(k+3)
o absurdo é que 3 + k(k+3) é sempre ímpar e p-1 será par se p não for 2.
Se p=2 teremos q³ = 4-2+1 = 3, absurdo.
então p divide q²+q+1 e q-1 divide p-1.
Acho que sai por força bruta, mas vou pensar mais um pouco nesse problema
p²-p + 1 = q³
p(p-1) = (q-1)(q²+q+1)
se p divide q-1 então p-1 divide q²+q+1
q= kp+1, como q>0 kp >-1 logo k>0
q² +q + 1 = k²p²+2kp + 1 + kp+1+1 = 3 + 3kp + k²p² = 3 + 3k(p-1) + 3k + k²(p²-1) + k²
logo p-1 divide 3 + 3k + k² = 3 + k(k+3)
o absurdo é que 3 + k(k+3) é sempre ímpar e p-1 será par se p não for 2.
Se p=2 teremos q³ = 4-2+1 = 3, absurdo.
então p divide q²+q+1 e q-1 divide p-1.
Acho que sai por força bruta, mas vou pensar mais um pouco nesse problema
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Seg 18 Dez, 2017 15:10). Total de 1 vez.
Dez 2017
18
18:29
Re: Primos e diferença de cubos
Obrigada sousóeu, mas então, como ele termina ...? 
-
Auto Excluído (ID:12031)
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Dez 2017
18
18:47
Re: Primos e diferença de cubos
veja se você concorda
q-1 divide p-1 e p divide q²+q+1
p-1 = k(q-1) , assumindo p e q >1 k>0
como
p | q² + q - 1
p | (q-1)² + 2q -2 + (q-1) + 3
p | (q-1)² + 3(q-1) + 3
p | (p-1)(q-1) + 3(p-1) + 3k
p | 1-q + -3 + 3k
p | 3k - q -2
p | 3k² -(p-1) -k
p | 3k² - k +1
acho que está melhor
q-1 divide p-1 e p divide q²+q+1
p-1 = k(q-1) , assumindo p e q >1 k>0
como
p | q² + q - 1
p | (q-1)² + 2q -2 + (q-1) + 3
p | (q-1)² + 3(q-1) + 3
p | (p-1)(q-1) + 3(p-1) + 3k
p | 1-q + -3 + 3k
p | 3k - q -2
p | 3k² -(p-1) -k
p | 3k² - k +1
acho que está melhor
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Seg 18 Dez, 2017 19:06). Total de 2 vezes.
Dez 2017
18
18:57
Re: Primos e diferença de cubos
mmm.. por quê [tex3]p|q^2+q-1 [/tex3]
?
é [tex3]p|q^2+q+1 [/tex3]
é [tex3]p|q^2+q+1 [/tex3]
Dez 2017
19
01:01
Re: Primos e diferença de cubos
[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]
[tex3]p^3+1=pq^3+q^3[/tex3]
[tex3](p+1) \cdot (p^2-p+1)=q^3 \cdot (p+1)[/tex3]
[tex3]p^2-p=q^3-1 [/tex3]
Disso sai que [tex3]p|q^3-1 [/tex3]
Então: [tex3]q^3 = kp+1 [/tex3]
[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]
[tex3]p^3-(kp+1)=p\cdot (kp+1)-1[/tex3]
[tex3]p^2-kp-k-1=0[/tex3]
[tex3]p = \frac{k \pm \sqrt{k^2- 4\cdot 1 \cdot (-k-1)}}{2}[/tex3]
[tex3]p =k+1[/tex3]
[tex3]q^3 = k^2+k+1 [/tex3]
Lema: Todo primo maior que 3 é [tex3]1 \mod(6)[/tex3] ou [tex3]5 \mod(6)[/tex3]
2 e 3 não dão solução...
Se [tex3]k \equiv 4 \mod(6)[/tex3] , então [tex3]q^3 \equiv 21 \equiv 3 \mod(6)[/tex3] , absurdo.
Então [tex3]k \equiv 0 \mod(6)[/tex3]
E os primos são da forma:
[tex3]\begin{cases}
p=6a+1 \\
q^3=36a^2+6a+1
\end{cases}[/tex3]
[tex3]p^3+1=pq^3+q^3[/tex3]
[tex3](p+1) \cdot (p^2-p+1)=q^3 \cdot (p+1)[/tex3]
[tex3]p^2-p=q^3-1 [/tex3]
Disso sai que [tex3]p|q^3-1 [/tex3]
Então: [tex3]q^3 = kp+1 [/tex3]
[tex3]p^3-q^3=pq^3-1[/tex3]
[tex3]p^3-(kp+1)=p\cdot (kp+1)-1[/tex3]
[tex3]p^2-kp-k-1=0[/tex3]
[tex3]p = \frac{k \pm \sqrt{k^2- 4\cdot 1 \cdot (-k-1)}}{2}[/tex3]
[tex3]p =k+1[/tex3]
[tex3]q^3 = k^2+k+1 [/tex3]
Lema: Todo primo maior que 3 é [tex3]1 \mod(6)[/tex3] ou [tex3]5 \mod(6)[/tex3]
2 e 3 não dão solução...
Se [tex3]k \equiv 4 \mod(6)[/tex3] , então [tex3]q^3 \equiv 21 \equiv 3 \mod(6)[/tex3] , absurdo.
Então [tex3]k \equiv 0 \mod(6)[/tex3]
E os primos são da forma:
[tex3]\begin{cases}
p=6a+1 \\
q^3=36a^2+6a+1
\end{cases}[/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Dez 2017
19
09:49
Re: Primos e diferença de cubos
Obrigada Ittalo25, mas não entendi corretamente...
A partir de [tex3]p^2-kp-k-1=0 [/tex3] é claro que [tex3]p|k+1 [/tex3] ou
[tex3]p\le k+1 [/tex3]
Por que você diz que [tex3]p=k+1 [/tex3] ?
Então, meu livro diz que existe apenas uma solução ou [tex3](19,7)[/tex3]
Por quê?
A partir de [tex3]p^2-kp-k-1=0 [/tex3] é claro que [tex3]p|k+1 [/tex3] ou
[tex3]p\le k+1 [/tex3]
Por que você diz que [tex3]p=k+1 [/tex3] ?
Então, meu livro diz que existe apenas uma solução ou [tex3](19,7)[/tex3]
Por quê?
Última edição: Miliotta (Ter 19 Dez, 2017 11:05). Total de 1 vez.
Dez 2017
19
19:51
Re: Primos e diferença de cubos
Resolvendo a equação do segundo grau em "p": [tex3]p^2-kp-k-1=0[/tex3]Miliotta escreveu: ↑Ter 19 Dez, 2017 09:49Obrigada Ittalo25, mas não entendi corretamente...
A partir de [tex3]p^2-kp-k-1=0 [/tex3] é claro que [tex3]p|k+1 [/tex3] ou
[tex3]p\le k+1 [/tex3]
Por que você diz que [tex3]p=k+1 [/tex3] ?
Então, meu livro diz que existe apenas uma solução ou [tex3](19,7)[/tex3]
Por quê?
Sai que [tex3]p = k+1 [/tex3]
Mas eu só mostrei que p e q são primos da forma 6t+1
Não resolve nada é só uma observação
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
Fev 2018
13
19:22
Re: Primos e diferença de cubos
Temos que
p³ - q³ = pq³ - 1
p³ + 1 = pq³ + q³
(p + 1)(p² - p + 1) = q³(p + 1)
Como p != - 1, temos
p² - p + 1 = q³
p . (p - 1) = (q - 1)(q² + q + 1)
Note que se p <= - 2, então p . (p - 1) > 0, pois teriamos o produto de dois números negativos. Com isso, também concluímos que q -1 tem que ser positivo, pois q² + q + 1 é positivo para todo q real, veja.
y = q² + q + 1
D = 1² - 4 . 1 .1 = - 3
A discriminante de q² + q + 1 é negativa, logo, para qualquer valor de q real, devemos ter valores positivios. Assim, para p <= - 2, temos q - 1 > 0 ---> q > 1.
Se p >= 2, então p . (p - 1) é positivo e com isso concluímos que q - 1 também é. Logo, q > 1
Agora note que, se p <= - 2, temos:
|p| = - p ---> p = - |p|
p . (p - 1) = - |p| . (- |p| - 1) = |p| . (|p| + 1) > 0
Se p >= 2
p . (p - 1) > 0
Ou seja, o lado esquerdo sempre será o produto de dois números consecutivos e positivos, então posso supor que p >= 2
Note que por contrução devemos ter p > q, se não o lado direito seria maior que o esquerdo (isso é fácil de visualizar)
Temos também que
q - 1 | p . (p - 1)
Mas p > q ---> p > q - 1
Então p não pode ser fator de q - 1, e como p é primo, temos:
mdc(p, q - 1) = 1
Logo,
q - 1 | p - 1
Então existe um inteiro positivo k tal que
p - 1 = k . (q -1)
Note também que
p | (q - 1)(q² + q + 1)
Mas p > q - 1, então p | q² + q + 1
Mas p = kq - k + 1
kq - k + 1 | q² + q + 1 ----> kq - k + 1 | k . (q² + q + 1) - q(kq - k + 1)
kq - k + 1 | 2kq + k - q ----> kq - k + 1 | 2kq + k - q - 2 . (kq - k + 1)
kq - k + 1 | 3k - 2 - q ------> kq - k + 1 | k . (3k - 2 - q) + (kq - k + 1)
kq - k + 1 | 3k² - 3k + 1
Como k e q são inteiros positivios, temos que kq - k + 1 > 0
Calculando a discriminante de 3k² - 3k + 1
D = 9 - 4 . 3 . 1 = - 3
Então 3k² - 3k + 1 > 0
Logo, como kq - k + 1 divide 3k² -3k + 1 e ambos são positivos, então devemos ter
kq - k + 1 <= 3k² - 3k + 1
kq - k <= 3k² - 3k
q - 1 <= 3k - 3
(q + 2)/3 <= k
Mas, k = (p - 1)/(q - 1)
(q + 2)/3 <= (p - 1)/(q - 1)
q² + q - 2 <= 3p - 3
q² + q + 1 <= 3p
Mas lembrando que
Ágora note que para p = 3 ou q = 3 não teremos soluções.
Aplicando congruência mod 3 e usando o teorema de Fermat
p³ - q³ _= pq³ - 1 (mod 3)
p - q - pq + 1 _= 0 (mod 3)
(q - 1)(p + 1) _= 0 (mod 3)
Se 3 | p + 1
p. (p - 1) = q³ - 1
2 _= q³ - 1 (mod3)
0 _= q³ (mod 3)
Absurdo pois q é diferente de 3, então 3 | q - 1
q² + q + 1 _= 1 + 1 + 1 _= 0 (mod 3)
Logo, 3 | q² + q + 1
Então 3p | q² + q + 1
3p <= q² + q + 1 <= 3p
Portanto,
q² + q + 1 = 3p
Temos que:
p . (p - 1) = (q - 1) . 3p
p - 1 = 3q - 3
p = 3q - 2
Logo,
p . (p - 1) = (3q - 2) . (3q - 3) = (q - 1)(q² + q + 1)
9q - 6 = q² + q + 1
q² - 8q + 7 = 0
(q - 1)(q - 7) = 0
Então q = 7
Achando p
p = 3q - 2 = 3 . 7 - 2 = 19
Portanto temos somente uma solução
(p, q) = (19, 7)
p³ - q³ = pq³ - 1
p³ + 1 = pq³ + q³
(p + 1)(p² - p + 1) = q³(p + 1)
Como p != - 1, temos
p² - p + 1 = q³
p . (p - 1) = (q - 1)(q² + q + 1)
Note que se p <= - 2, então p . (p - 1) > 0, pois teriamos o produto de dois números negativos. Com isso, também concluímos que q -1 tem que ser positivo, pois q² + q + 1 é positivo para todo q real, veja.
y = q² + q + 1
D = 1² - 4 . 1 .1 = - 3
A discriminante de q² + q + 1 é negativa, logo, para qualquer valor de q real, devemos ter valores positivios. Assim, para p <= - 2, temos q - 1 > 0 ---> q > 1.
Se p >= 2, então p . (p - 1) é positivo e com isso concluímos que q - 1 também é. Logo, q > 1
Agora note que, se p <= - 2, temos:
|p| = - p ---> p = - |p|
p . (p - 1) = - |p| . (- |p| - 1) = |p| . (|p| + 1) > 0
Se p >= 2
p . (p - 1) > 0
Ou seja, o lado esquerdo sempre será o produto de dois números consecutivos e positivos, então posso supor que p >= 2
Note que por contrução devemos ter p > q, se não o lado direito seria maior que o esquerdo (isso é fácil de visualizar)
Temos também que
q - 1 | p . (p - 1)
Mas p > q ---> p > q - 1
Então p não pode ser fator de q - 1, e como p é primo, temos:
mdc(p, q - 1) = 1
Logo,
q - 1 | p - 1
Então existe um inteiro positivo k tal que
p - 1 = k . (q -1)
Note também que
p | (q - 1)(q² + q + 1)
Mas p > q - 1, então p | q² + q + 1
Mas p = kq - k + 1
kq - k + 1 | q² + q + 1 ----> kq - k + 1 | k . (q² + q + 1) - q(kq - k + 1)
kq - k + 1 | 2kq + k - q ----> kq - k + 1 | 2kq + k - q - 2 . (kq - k + 1)
kq - k + 1 | 3k - 2 - q ------> kq - k + 1 | k . (3k - 2 - q) + (kq - k + 1)
kq - k + 1 | 3k² - 3k + 1
Como k e q são inteiros positivios, temos que kq - k + 1 > 0
Calculando a discriminante de 3k² - 3k + 1
D = 9 - 4 . 3 . 1 = - 3
Então 3k² - 3k + 1 > 0
Logo, como kq - k + 1 divide 3k² -3k + 1 e ambos são positivos, então devemos ter
kq - k + 1 <= 3k² - 3k + 1
kq - k <= 3k² - 3k
q - 1 <= 3k - 3
(q + 2)/3 <= k
Mas, k = (p - 1)/(q - 1)
(q + 2)/3 <= (p - 1)/(q - 1)
q² + q - 2 <= 3p - 3
q² + q + 1 <= 3p
Mas lembrando que
Ágora note que para p = 3 ou q = 3 não teremos soluções.
Aplicando congruência mod 3 e usando o teorema de Fermat
p³ - q³ _= pq³ - 1 (mod 3)
p - q - pq + 1 _= 0 (mod 3)
(q - 1)(p + 1) _= 0 (mod 3)
Se 3 | p + 1
p. (p - 1) = q³ - 1
2 _= q³ - 1 (mod3)
0 _= q³ (mod 3)
Absurdo pois q é diferente de 3, então 3 | q - 1
q² + q + 1 _= 1 + 1 + 1 _= 0 (mod 3)
Logo, 3 | q² + q + 1
Então 3p | q² + q + 1
3p <= q² + q + 1 <= 3p
Portanto,
q² + q + 1 = 3p
Temos que:
p . (p - 1) = (q - 1) . 3p
p - 1 = 3q - 3
p = 3q - 2
Logo,
p . (p - 1) = (3q - 2) . (3q - 3) = (q - 1)(q² + q + 1)
9q - 6 = q² + q + 1
q² - 8q + 7 = 0
(q - 1)(q - 7) = 0
Então q = 7
Achando p
p = 3q - 2 = 3 . 7 - 2 = 19
Portanto temos somente uma solução
(p, q) = (19, 7)
Última edição: Superaks (Ter 13 Fev, 2018 19:27). Total de 4 vezes.
-
Auto Excluído (ID:12031)
- Última visita: 31-12-69
Fev 2018
13
19:45
Re: Primos e diferença de cubos
há um jeito mais rápido:
p>q
p-1 = k(q-1)
pk = q² + q +1
k(1+k(q-1)) = q² + q +1
q² + q(1-k²) +1-k+k²=0
o discriminante é
[tex3](k²-3)² \leq (1-k²)²-4(1-k+k²) < (k²-1)²[/tex3]
de onde só podemos ter [tex3](k²-3)² = (1-k²)²-4(1-k+k²)[/tex3] ou [tex3](k²-2)² = (1-k²)^2 - 4(1-k+k²)[/tex3]
testando vemos que só o esquerdo dá solução. [tex3]k=3[/tex3]
logo [tex3]q^2 -8q + 7=0 \iff (q-4)^2 = 9 \iff q =1[/tex3] ou [tex3]q=7[/tex3]
[tex3]p-1 = 3 \cdot 6 \iff p=19[/tex3]
p>q
p-1 = k(q-1)
pk = q² + q +1
k(1+k(q-1)) = q² + q +1
q² + q(1-k²) +1-k+k²=0
o discriminante é
[tex3](k²-3)² \leq (1-k²)²-4(1-k+k²) < (k²-1)²[/tex3]
de onde só podemos ter [tex3](k²-3)² = (1-k²)²-4(1-k+k²)[/tex3] ou [tex3](k²-2)² = (1-k²)^2 - 4(1-k+k²)[/tex3]
testando vemos que só o esquerdo dá solução. [tex3]k=3[/tex3]
logo [tex3]q^2 -8q + 7=0 \iff (q-4)^2 = 9 \iff q =1[/tex3] ou [tex3]q=7[/tex3]
[tex3]p-1 = 3 \cdot 6 \iff p=19[/tex3]
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